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1、1不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题一、不等式恒成立问题问题引入：问题引入：已知不等式对恒成立，其中，求实数的取值范围。0122 axx2 , 1 x0aa分析：分析：思路（1）通过化归最值，直接求函数的最小值解决，即。12)(2axxxf0)(minxf思路（2）通过分离变量，转化到解决，即。)1(21 212xxxxamin2 )21(xxa思路（3）通过数形结合，化归到作图解决，即图像在的上方。axx21212 xyaxy2小结：不等式恒成立问题的处理方法小结：不等式恒成立问题的处理方法1 1、转换求函数的最值：、转换求函数的最值
2、：（1）若不等式在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上的下界大于 A； Af x minAf xf x（2）若不等式在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上的上界小于 B。 Bf x maxBf xf x例例 已知对任意恒成立，试求实数的取值范围。 22xxaf xx 1,0xf xa解：等价于对任意恒 220xxxa1,x成立,又等价于时,成立.由于1x min0x在上为增函数, 211xxa1,则,所以 min13xa303aa 2 2、分离参数法、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； gf x gf x（2）求在上的最大（或最小）值； f xxD（3）解
3、不等式 (或) ，得的取值范围。 maxgf x mingf x例例 已知函数时恒成立，求实数的取值范围。4 , 0(,4)(2xxxaxxf0)(xfa解： 将问题转化为对恒成立。xxxa24 4 , 0(xtg(t)o 1图 1t=m2令，则xxxxg24)(min)(xga 由可知在上为减函数，故144)(2 xxxxxg)(xg4 , 0(0)4()(min gxg即的取值范围为。0aa)0 ,(注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例例 已知二次函数，若时，恒有，求的取值范围。xaxxf2)( 1 , 0x1)(xfa解：解：， 即1)(xf112xaxxaxx11
4、2（1）当时，不等式显然成立， 0x101aRa（2）当时，由得10 xxaxx112 xxaxx111122，041)211(112 2xxx0)11(min2xx0a又， 241)211(112 2xxx2)11(max2xx2a02a综上得，的取值范围为。a20a 3 3、数形结合法、数形结合法（1）若不等式在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数和图象在函数图 f xg x yf x yg x象上方；（2）若不等式在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数和图象在函数图 f xg x yf x yg x象下方。例例 设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围. xxxf4)(
5、2axxg134)()()(xgxfa分析：在同一直角坐标系中作出及 的图象 )(xf)(xg如图所示，的图象是半圆 )(xf)0(4)2(22yyx的图象是平行的直线系。)(xg03334ayx要使恒成立，)()(xgxf则圆心到直线的距离)0 , 2(03334ayxx-2-4yO-43满足 25338ad解得（舍去)355aa或例例 当时，不等式恒成立，求的取值范围)21, 0(xxxalog2a分析分析：注意到函数，都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切2)(xxfxxgalog)(，恒成立，只要在内， 的图象在图象的上方即可显)21, 0(x)()(xgxf)21, 0
6、(xxgalog)(2)(xxf然，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即10 a)21()21(gf解解：设，则要使对一切，恒成立，由图象可知，2)(xxfxxgalog)()21, 0(x)()(xgxf10 a并且，故有，)21()21(gf41 21loga， 又 161a10 a1161a点评：点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。此外，从图象上直观得到后还需考查区间右端点处的函数值的大小。10 a)21, 0(21x4 4、变换主元法、变换主元法例例 对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围。40 p342
7、pxpxxx分析：分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为： 当时，xpxpxy3)4(2 4 , 0p恒成立，求的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，0yx这是相当复杂的。解：解：设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，)34() 1()(2xxpxpf1x)(pfp0)(pf当且仅当，且时，解得的取值范围是。0)0(f0)4(fx), 3() 1,(点评：点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单p调性求解，解题的关键是转换变量角色。例例 对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 1 , 1
8、a024)4(2axaxx分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式xa在上恒成立的问题。044)2(2xxax 1 , 1a4解：令，则原问题转化为恒成立（） 。44)2()(2xxaxaf0)(af 1 , 1a当时，可得，不合题意。2x0)(af当时，应有解之得。2x 0) 1(0) 1 ( ff31xx或故的取值范围为。x), 3() 1 ,(注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。)0()(kbkxxf,0)(xf 0)(0)( ff例例 设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围。bxxaxh )(2 ,21a10)(xh 1 ,41x
9、b分析：分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数。以本题为例，实质还是通过函数求最值解决。方法 1：化归最值，；10)(10)(maxxhxh方法 2：变量分离，或；)(10xxabxbxa)10(2方法 3：变更主元， ，0101)(bxaxa2 ,21a简解：对于方法 3：变更主元，原函数可以看成是关于的函数，只需a0101)(bxaxa即可，因为，所以当时有最大值在恒成0)(maxa01x2a)(a0102)(maxbxxa 1 ,41x立，只需。当时，得的取值范围是0)102(maxbxx41x010418)102(maxbbxxb。47b练习题练习题1、设,当 x-
10、1,+时，都有恒成立，求 a 的取值范围。 222f xxax f xa解：a 的取值范围为-3，12、R 上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有 f x0,2恒成立，求实数 m 的取值范围。2cos2sin220fmfm解：由得到：2cos2sin220fmfmtg(t)o 1图 2t=m5因为为奇函数，故有恒成立，2cos2sin22fmfm f x2cos2sin22fmfm又因为为 R 减函数，从而有对恒成立。设，则 f x22sin2cos2mm0,2sint对于恒成立，22210tmtm 0,1t设函数,对称轴为. 2221g ttmtmmt 当时，0tm 0210gm 即，又
11、 (如图 1)1 2m 0m 102m当，即时, 1 , 0 mt10 m,即,012442mmm0122 mm,又,(如图 2)2121m 1 , 0m10 m当时，恒成立.1 mt0212211mmg（如图 3）1m故由可知：.1 2m 3、若不等式对恒成立，实数 a 的取值范围是 。10ax 1,2x1 2a 4、若对于任意，不等式恒成立，求实数 x 的取值范围1a 24420xaxa解： ,13,x 5、当时，不等式恒成立，则的取值范围_1,2x240xmxm解析：当时，由得.(1,2)x240xmx24xmx 5m 6、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是_xR|xaxa解析：
12、对,不等式恒成立xR|xax则由一次函数性质及图像知，即。11a 11a 二、不等式能成立问题二、不等式能成立问题tg(t)o 1 图 3t=m|yx|yxyaxyaxxyO6若在区间 D 上存在实数使不等式成立，则等价于在区间 D 上；x f xA maxf xA若在区间 D 上存在实数使不等式成立，则等价于在区间 D 上的x f xB minf xB例例 已知不等式在实数集 R 上的解集不是空集，求实数的取值范围_ 解：43xxaa1a 例例 若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是_x23xaxa a解：设.则关于的不等式的解集不是空集在 R 上能成立 2f xxaxax23xa
13、xa 3f x , min3fx 即解得或 2min434aafx 6a 2a 三、不等式恰好成立问题三、不等式恰好成立问题例例 不等式的解集为则_：62axbx10 1| 13xx a b例例 已知，当的值域是，试求实数的值。 22xxaf xx 1,xf x0,a解：是一个恰成立问题,这相当于的解集是. 220xxaf xx1,x当时，由于时，与其值域是矛盾，0a 1x 2223xxaaf xxxx0,当时，是上的增函数，0a 222xxaaf xxxx1,所以的最小值为 ，令 f x 1f 1303faa 不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1、若不等式对任意实数 x 恒成立，求实数 m 取值范围211310mxmxm解： 13,11 2、已知不等式对任意的恒成立，求实数 k 的取值范围22622kxkx xxxR7解：2,103、已知函数2( )3f xxaxa ，（1）在 R 上( )0f x 恒成立，求a的取值范围。（2）若2,
