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1、- 1 -培优专题培优专题 7 7 线段和角线段和角线段和角是最简单、最基本的几何图形，与它们有关的概念、性质以及它们的画法和计算是研究平面几何的基础要解决线段和角的计数、计算问题，首先应掌握好线段和角的一些特点及基本性质，其次要注意总结规律，灵活运用例例 1 1 如图，数出各条线上线段的总条数分析分析 要确定一条线段，就需要确定线段的两端点，做到不重不漏在（1）中，先数以 A 为左端点的线段：AC、AB，2 条；再数以 C 为端点的线段：CB，1 条故（1）中共有 3 条线段同样地，在图（2）中有线段 AC、AD、AB，3 条；CD、CB，2 条；DB，1 条共计3+2+1=6 条在（3）中
2、有线段 AC、AD、AE、AB；CD、CE、CB；DE、DB；EB共计 4+3+2+1=10条从上面的分析可见，当线段上有 n 个点（包括两端点）时，它上面的线段总共有（n-1）+（n-2）+2+1=（条）(1) 2n n练习练习 1 11在直线 L 上顺将取点 A、B、C、D、E、F、M、N，则在 A、N两点之间共有线段_条（包括线段 AN）2（1）数一数图中的图中共有_个角；图中共有_角；图中共有_角（2）从（1）中你找到一种数图中角的个数的规律吗？- 2 -3如图，图中共有_条线段例例 2 在图中，若线段 A1A2=a1，A2A3=a2，A3A4=a3，A4A5=a4，A5A6=a5，求
3、出所有线段长的和分析分析 要求出所有线段长的总和，可采用分类计数的方法，分别以A1、A2、A3、A4、A5为左端点，按 5 类分别计算长度，如：L1=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5+A1A6=a1+（a1+a2）+（a1+a2+a3）+（a1+a2+a3+a4）+（a1+a2+a3+a4+a5）=5a1+4a2+3a3+2a4+a5同理：L2=4a2+3a3+2a4+a5，L3=3a3+2a4+a5L4=2a4+a5L5=a5故所有线段的长度总和为：L=L1+L2+L3+L4+L5=5a1+8a2+9a3+8a4+5a5当本例从 6 个点推广到 n 个点时，所有这些线段长的总和为：L=
4、a1（n-1）1+a2（n-2）2+a3（n-3）3+an-22（n-2）+an-11（n-1）练习练习 2 21如图 1，B、C、D 依次是线段 AE 上的点，已知 AE=8.9cm，BD=3cm，则图中从A、B、C、D、E 这五个点为端点的所有线段的长度之和等于_(1) (2) (3)2（1）如图 2，3 个机器人 A1、A2、A3排成一条线做流水作业，它们都要不断从一个固定的零件箱中拿零件，则零件箱放在（ ）处最好（使得各机器人到零件箱的距离之和最小）AA1 BA2 CA3 DA1、A2之间或 A2、A3之间的一点处（2）如图 3，若有 4 个机器人 B1、B2、B3、B4，零件箱放在何
5、处最好？- 3 -3经过直线 L 外一点 P 作长度为 5cm 的线段，使其另一端点在 L 上，这样的线段可以作（ ）条A0 或 1 B1 或 2 C0 或 2 D0 或 1 或 2例例 3 3 如图，已知 C 在线段 AB 上，且 AC：BC=2：3，D 在线段 AB 的延长线上，BD=AC，E 为 AD 的中点，若 AB=40cm，求 CE 的长分析分析 由 AC：BC=2：3 及 AB=40cm，可先求出 AC、BC 的长度，再由 E 为 AD中点，可求出 AE 的长度，再由 CE=AE-AC 求出 CE解：设 AC=2x，BC=3x，由题意得：2x+3x=40，解得 x=8AC=16，
6、BC=24，BD=AC=16AD=AB+BD=40+16=56E 为 AD 中点，AE=AD=281 2CE=AE-AC=12（cm）练习练习 3 31三点 A、B、C 在同一直线上，若 BC=2AB，且 AB=a，则 AC=_2如图，C、D、E 将线段 AB 分成四部分，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N 分别是 AC、CD、DE、EB 的中点，若 MN=21，则 PQ 长为_3（1）如图，已知AOB=90，BOC=30，OM 平分BOC，求MON 的度数；（2）如果（1）中AOB=，其他条件不变，求MON 的度数；- 4 -（3）如果（1）中，BOC=（ 为锐角），其
7、它条件不变，求MON 的度数（4）从（1）、（2）、（3）的结果中你可得出什么结论？（5）线段的计算与角的计算存在着密切的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）（4）设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律并给出解答例例 4 4 如图，过点 O 任作 7 条直线求证：以 O 为顶点的角中必有一个小于 26分析分析 过点 O 的 7 条直线被点 O 分成 14条射线，而相邻的两射线可组成 14 个角，而要证明以 O 为顶点的角中必有一个小于 26，只要考虑这 14 个角即可证明：设相邻的射线组成的 14 个角为 1、2、14，则 1+2+14=360假设 1+2+14都不小于 26，
8、则：1+2+- 5 -与 1+2+14=360矛盾故 1、214中必有一个角小于 26练习练习 4 419 点 20 分时，时针与分针所成的角是多少度？2如图是一个 33 的正方形，则图中1+2+3+9 的度数是多少？3如图，A1OA11是一个平角，A3OA2-A2OA1=A4OA3-A3OA2=A5OA4-A4OA3=A11OA10-A10OA9=2，求A11OA10的度数- 6 -例例 5 5 从县城 P 出发的一条直线公路两旁共有 10 个村需要安装自来水（水从县城引出），县城与 A 村的距离为 30 千米，其余各村之间的距离如图 7-14 所示，现有粗细不同的两种水管可以选用，粗管是供
9、给所有各村用水，细管只能供一个村用水安装费用：粗管每千米 8000 元，细管每千米 2000 元把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程总费用请你设计一种最节省的安装方案，并求出所需的总费用分析分析 显然粗细管适当搭配较合适，由于粗管安装费用是细管安装费用的 4 倍，故需要用 4 根细管的路段采用粗管或细管所花费用相同，需要用多于 4根细管的路段采用粗管较合算由县城 PABCDEF 宜采用粗管，FG 用粗管或细管均可，GH、GM、GN 分别安装一根细管总费用是：（30+5+2+4+2+3）8000+28000+22000+（2+2）2000+（2+2+5）2000=414000（元）练习练
10、习 5 51如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相联，连线标注的数字表示该网络单位时间内可以通过的最大信息量现从结点 A向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为（ ）A19 B20 C24 D262甲和乙两人同时从 A、B 两地相向而行（如图 7-16），甲骑自行车，乙步行出发后 30 分钟甲与乙在 P1处相遇，然后甲、乙继续前进，甲到 B 地后马上折回向 A 骑行，从 P1起 30 分钟后，甲又在 P2处追上乙，此后两人继续前进，甲从 A 地在返回 B 地的路上在 P3处与乙相遇求证：P1、P2、P3是 AB 的四等分点P3
11、P2P1BA- 7 -3（1）现有一个 19的“模板”（如图），请你设计一种方法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出 1的角来？（2）现有一个 17的“模板”，能否只用这个“模板”和铅笔在纸上画出一个1的角来？（3）用一个 21的“模板”与铅笔，能否在纸上画出一个 1的角来？对于（2）、（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由- 8 -答案答案: :练习练习 1 1128 =288 (8 1) 22（1）3；6；10；（2）(1) 2n n330如线段 BE 上有 6 条线段，故共有 65=30 条线段练习练习 2 2141.6cm 其长度总和=4AB+6BC+6CD+4DE
12、=4（AB+DE）+6（BC+CD）=4（AE-BC）+6BD=4AE+2BD=48.9+23=41.6cm2（1）A2处，故选 B（2）若选在 B1、B2之间，设此点为 M1，则其和为：B1B4+B2B3+2B2M1；若选在 B2、B3之间，设此点为 M2，则其和为 B1B4+B2B3；若选在 B3、B4之间，设此点为 M3，则其和为B1B4+B2B3+2B3M3，故选在 B2、B3之间（包括（B2、B3处），其到机器人的距离和最短3选 D若点 P 到 L 的距离 d=5cm，则此点只有一个；若 d5cm，不存在此点；若d5cm，则这样的点有两个，故选 D练习练习 3 31a 或 3a，若点
13、 B、C 在点 A 的同侧，则 AC=3a；若点 B、C 在点 A 的异侧，则 AC=a27设 AC=2k，则 CD=3k，DE=4k，EB=5k，且 MN=k，PQ=k，由 MN=21，可知：21 27 2k=2，故 PQ=73（1）MON=45，MON=AOC+BOC=AOB=451 21 21 2（2）MON=1 2（3）MON=45（4）分析（1）、（2）、（3）的结果和解题过程可知：MON 的大小总等于AOB的一半，而与锐角BOC 的大小无关- 9 -（5）如图 7-1，B 为线段 AC 上一点，AC=a，M、N 分别为线段 AB、BC 的中点，求 MN的长本题的规律是：MN=AC，
14、而与 BC 的长度变化无关1 2BAC NM练习练习 4 41160时钟从表面 12 处顺时针转过（930）=280，分针从表面 12 处顺时针1 3转过（206）=120，故时针与分针形成的角为 1602405由图知：3=5=7=45，1+9=90，2+6=90，4+8=90，1+2+9=405327将条件中的 9 个等式相加，得：A11OA10-A2OA1=92，即A11OA10=A2OA1+18，又A1OA11=A2OA1+A3OA2+A11OA10=（A2OA1+A11OA10）1 210=180，两个方程联立解得A11OA10=27练习练习 5 51考察每条通道的最大信息量，四条通道在单位时间可同时通过的最大信息量为3、4、6、6，则（3+4）+（6+6）=19，选 A2乙从 B 到 P1用了 30 分钟，由 P1到 P2也用了 30 分钟，故有 BP1=P1P2，因为甲从 P1到 B 然后再到 P2用了 30 分钟，共行了 3P1P2长的路程，所以甲的速度是乙速度的 3 倍再由第三次
