《2018版高中数学人教b版必修五课件2.3.2等比数列的前n项和（一）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教b版必修五课件2.3.2等比数列的前n项和（一）（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章,数列,学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.,2.3 等比数列 2.3.2 等比数列的前n项和(一),1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列an，当q1，Sna1a1qa1q2a1qn1a1q(a1a1qa1qn1a1qn1)a1q(Sna1qn1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？,至此你能用a1和q表示出Sn吗？,预习导引 1.等比数列前n项和公式： (2)注意：应用该公式时
2、，一定不要忽略q1的情况.,na1,2.等比数列前n项和公式的变式,3.错位相减法 推导等比数列前n项和的方法叫 法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.,错位相减,要点一 前n项和公式基本量的运算 例1 在等比数列an中， (1)若q2，S41，求S8；,解 方法一 设首项为a1，q2，S41，,解 设公比为q，由通项公式及已知条件得,(2)若a1a310，a4a6 ，求a4和S5.,a18.,规律方法 (1)在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. (2)在解决与
3、前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.,跟踪演练1 若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_. 解析 设等比数列an的公比为q，,2n12,2,要点二 错位相减法求和 例2 求和：Snx2x23x3nxn (x0). 解 分x1和x1两种情况. 当x1时，Sn123n . 当x1时，Snx2x23x3nxn， xSnx22x33x4(n1)xnnxn1， (1x)Snxx2x3xnnxn1,规律方法 一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.,跟踪演练2 求数列
4、1，3a，5a2，7a3，(2n1)an1的前n项和. 解 (1)当a0时，Sn1. (2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)， (3)当a1且a0时， 有Sn13a5a27a3(2n1)an1. aSna3a25a37a4(2n1)an. 得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，,(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1),要点三 等比数列前n项和的综合应用 例3 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.0161.061,1.0151.051)? 解 方法一 设每个月还贷
5、a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a， a21.01a1a1.012a0(11.01)a， ,a61.01a5a1.016a011.011.015a. 由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0， 故每月应支付1 739元.,方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S1104(10.01)6104(1.01)6(元). 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S2a(10.01)5a(10.01)4a,故每月应支付1 73
6、9元.,规律方法 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.,跟踪演练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得 an1 an， 因此，数列an是首项a125，公比q 的等比数列.,热气球在前n分钟内上升的总高度为： 故这个热气球上升的高度不可能超过125
7、 m.,例4 设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和.已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列. (1)求数列an的通项；,设数列an的公比为q，由a22，可得a1 ，a32q， 又S37，可知 22q7，即2q25q20. 解得q12，q2 . 由题意得q1，q2，a11. 故数列an的通项为an2n1.,(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn. 解 由于bnln a3n1，n1,2， 由(1)得a3n123n， bnln 23n3nln 2. 又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，,规律方法 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时
8、对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解.,跟踪演练4 已知Sn是无穷等比数列an的前n项和，且公比q1，已知1是 S2和 S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项. (1)求S2和S3；,解得3S22S36，即S22，S33.,(2)求此数列an的前n项和；,(3)求数列Sn的前n项和. 解 由(2)得S1S2Sn,1.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn为( ),C,1,2,3,4,2.设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则 等于( ),C,2,3,4,1,3.等比数列an的各项都是正数，若a181，a516
9、，则它的前5项的和是( ) A.179 B.211 C.243 D.275,1,2,3,4,B,4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_. 解析 注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. 1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151).,1,2,3,4,11a(1.151),课堂小结 1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况. 3.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.,
