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1、1.1 数列的极限,1.2 函数的极限,第一讲 极限与连续,1.3 无穷小量与无穷大量,1.4 函数的连续性,1.1数列的极限,一、数列极限的定义,二、几个常用的数列极限,三、数列极限的四则运算法则,四、典例精析,例1、求极限：,【解析】,例2、已知,求实数a,b的值。,【解析】,1.2 函数的极限,一、函数极限的定义,3. 左极限与右极限,二、 极限的四则运算法则,注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.,三. 两个重要极限,解析：,1.3 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量与无穷大量的定义,定义1 极限为零的量称为无穷小量，简称无穷小.,推论 常数与无穷小量之积为无穷小量.,二、无穷
2、小的性质,性质1 有限个无穷小的代数和仍然是无穷小.,性质2 有限个无穷小之积仍然是无穷小.,性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,三、无穷小量的阶,常用等价无穷小：,例：求极限,四、无穷小与无穷大的关系,1.4 函数的连续性,一、 连续的定义,结论：,二、间断点,跳跃间断点,【例1】,【解】,2.函数间断点的几种常见类型,(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点).,可去间断点,【例2】,【解】,【说明】 可去间断点只要改变（原来有定义时）或者补充（原来无定义时）间断点处函数的定义, 则可使其变为连续点，故称其为可去间断点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,【特
3、点】,可去型 ： 左右极限存在且相等.,跳跃型： 左右极限存在但不相等.,(2)【第二类间断点】,【例3】,【解】,【特点】,这种情况称为无穷间断点,【例4】,【解】,这种情况称为振荡间断点.,【特点】,振荡而不存在，但均不为，称之.,解析：利用“ 若函数在点 处连续，则函数在点 处既右连续又左连续”.,三、初等函数的连续性,1. 初等函数的连续性,由基本初等函数的连续性、连续的四则运算法则以及复合函数的连续性可知：,结论： (1) 求初等函数的连续区间就是求其定义区间； (2) 关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续性.,定理3 初等函数在其定义域内是连续的.,2. 利用函数的连续性求极限,3.闭区间上连续函数的性质,小结：若函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，则它在该区间上未必能取得最大值和最小值.,（如图3.3.2所示）.,图3.3.2,
