有限元 第9讲 动力学问题有限单元法

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1、,第9章 动力问题有限元法,张 洪 伟,2,动力学问题,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,第1节 引言,第3节 直接积分法,第4节 振型叠加法,第5节 解的稳定性,第6节 大型特征值问题的解法,第7节 减缩系统自由度的方法,第8节 小结,3,第1节 有限元动力学方程的建立,动力学问题中最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象。一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如，高速旋转的电机，往复运动的内燃机，以及高速运行的飞行器，如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性是极为重要的研究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层建筑和厂房，核电站的安全壳和热交换器，这些结构的破裂、倾覆和

2、坍塌等破坏事故的发生，将给人民的生命财产造成巨大损失。正确分析和设计这类结构，在理论和实际上都是具有重要意义的。 动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。,4,三维弹性动力学的基本方程是：,平衡方程,几何方程,物理方程,边界条件,初始条件,（在V域内）,（在V域内）,（在V域内）,（在Su域内） （在S域内）,（1.1）,（1.2）,（1.3）,（1.4） （1.5）,（1.6）,在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 ，则单元 内也产生相应的虚位移 和虚应变 。单元内产生的虚应变能为:,单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力 和阻尼力 ，其中为材料密度，v是线性阻

3、尼系数。外力所做的虚功为：,式中，Pv、Ps、Pc分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态集中力；V为单元面积；A为单元面积。,动力学方程建立：,且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有,根据虚位移原理，有,代入经整理，可得单元运动方程为,由于,式中,分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的特性矩阵。,称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节点移置的结果。在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。,8,动力学有限元分析基本步骤如下：,（1）连续区域的离散化 （2）构造插值函数 由于只对空间

4、域进行离散，所以单元内位移u,v,w的插值分别表示为:,（1.7）,其中,9,（3）形成系统的求解方程,（1.8）,其中,分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，,M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。,10,（4）求解运动方程,（1.9）,如果忽略阻尼的影响，则运动方程简化为,如果上式的右端项为零，则上式进一步简化为,（1.10）,这是系统的自有振动方程，又称为动力特性方程。,（5）计算结构的应变和应力,11,从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯 性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩 阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是

5、常微分方程组。其 它的计算步骤和静力分析是完全相同的。 关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法。,直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一 无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对 运动方程式进行变换。,动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的 数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两 种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。,12,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,一、协调质量矩阵和集中质量矩阵,单元质量矩阵,称为协调质量矩阵。,集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩 阵是对角线矩阵。以

6、下分实体单元和结构单元进行讨论。,1.实体单元 介绍两种常用方法 （1）第一种方法,其中，ne是单元的结点数。该式的力学意义是：Mle每一行的主元 素等于Me中该行所有元素之和，而非主元素为零。,（2.1）,13,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,（1）第二种方法,该式的力学意义是：Mle每一行的主元素等于Me中该行主元素乘 以缩放因子a，而非主元素为零。,（2.2）,14,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,例1 计算平面应力（应变）单元的协调质量Me矩阵和集中质量矩阵Mle 。单元采用3结点三角形单元。,（1）协调质量矩阵 位移插值函数是,（2.3）,其中I是22单位矩阵。,（2.4）,Me,Ce,Ke

7、和Qe分别是单元的质量、阻尼、刚度和载荷矩阵。,15,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,算得单元的协调质量矩阵,（2.5）,其中，WtA是单元的质量，t是单元的厚度。,16,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,（2）集中质量矩阵 按第一种方法计算，得到集中质量矩阵为,（2.6）,此式的力学意义是：在单元的每个结点上集中1/3的质量。,17,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。,注：对于8结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。,在实际分析中，更多的是推荐用第二种方法来计算集中质量矩阵。,2.结构单元,2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示：

8、,（1）协调质量矩阵 位移插值函数是,（2.7）,其中,18,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,计算得单元的协调质量矩阵为,（2.8）,其中，l是单元长度，WlA是单元的质量，A是截面面积。,（2）集中质量矩阵,（2.9）,此式的力学意义是在每个结点上集中1/2的单元质量。,19,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,需要指出，虽然质量矩阵M在理论上是正定的，但通常需要在计 算中对,进行精确积分才能保证此性质。如果计,算中采用低阶的积分，则M可能是奇异的，这将使后续的动力分 析发生困难，因此在选择Me的积分阶次时应予注意。,20,第2节 质量矩阵和阻尼矩阵,二、振型阻尼矩阵,它是假定阻尼力正比于质点运动速度的

9、结果，通常均将介质阻尼 简化为这种情况。这时单元矩阵比例于单元质量矩阵。,在以后的讨论中，将知道系统的固有振型对于M和K是具有正交 性的，因此固有振型对于M和K的阻尼矩阵C也是具有正交性的。 所以这种阻尼矩阵称为比例阻尼或振型阻尼。,在实际分析中要精确地决定阻尼矩阵是相当困难的，通常允许将 实际结构的阻尼矩阵简化为M和K的线性组合。这种振型阻尼称 为Rayleigh阻尼。,求解方法,求解运动方程,直接积分法,模态叠加法,隐式积分,显式积分,完整矩阵法,缩减矩阵法,完整矩阵法,缩减矩阵法,逐步积分法按是否需要联立求解耦联方程组，可分为两大类：隐式方法：逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求解，

10、计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark法、Wilson 法。 显式方法：逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法。重点介绍两种常用的时域逐步积分法中心差分法和Newmark法。,23,第3节 直接积分法,一、中心差分法,在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即,（3.2）,（3.1）,中心差分法的递推公式,（3.3）,上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又 称为逐步积分法。,24,第3节 直接积分法,需要指出，此算法有一个起步问题，为此利用(3.1)，(3.2)得到。,将利

11、用中心差分法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：,1.初始计算,形成刚度矩阵K、质量矩阵M和阻尼矩阵C。 给定 选择时间步长t， t tcr，并计算积分常数,计算 形成有效质量矩阵 三角分解,25,第3节 直接积分法,2.对于每一时间步长（t0， t ，2 t ）,计算时间t的有效载荷,求解时间t t的位移,如果需要，计算时间t的加速度和速度,26,第3节 直接积分法,关于中心差分法还需要着重指出一下几点：,中心差分法是显式算法。 中心差分法是条件稳定算法。 显式算法用于求解由梁、板、壳等结构单元组成的系统的动态响应时如果对角化后的质量矩阵M中已略去了与转动自由度相关的项，则M的实际阶数仅是对

12、于位移自由度的阶数。 中心差分法比较适合于由冲击、爆炸类型载荷引起的波传播问题的求解。,对于结构动力学问题，一般说，采用中心差分法就不太适合。,中心差分法的精度和数值稳定性以上给出的中心差分逐步积分公式，是收敛的；具有2阶精度，即误差O(t2) ；是有条件稳定，稳定条件tTn/；具有较高的计算效率。,28,第3节 直接积分法,二、Newmark方法,在tt t的时间区域内， Newmark积分法采用下列的假设,（3.4）,（3.5）,其中和是按积分精度和稳定性要求决定的参数。另一方面， 和取不同数值则代表了不同的数值积分方案。,Newmark方法中的时间t t的位移解答a t t是通过满足时间

13、t t的运动方程的。,29,第3节 直接积分法,计算a t t的两步递推公式,（3.6）,将利用Newmark法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：,1.初始计算,形成刚度矩阵K、质量矩阵M和阻尼矩阵C。 给定,30,第3节 直接积分法,选择时间步长t 及参数和，并计算积分常数。这里要求： 0.50， 0.25(0.5+)2,形成有效刚度矩阵 三角分解,31,第3节 直接积分法,2.对于每一时间步长（t0， t ，2 t ）,计算时间t t的有效载荷,求解时间t t的位移,如果需要，计算时间t的加速度和速度,32,第3节 直接积分法,关于Newmark法还需要着重指出一下几点：,Newmark

14、法是隐式算法。 关于Newmark法的稳定性。证明，当0.50， 0.25(0.5+)2时，算法是无条件稳定的。 Newmark法适合于时程较长的的系统瞬态响应分析。 Newmark法的其它表达形式。,和是按积分精度和稳定性要求决定的参数。,=1/2和 =1/4，平均常加速度法。 =1/2和 =1/6，线性加速度法。 =1/2和 =0，中心差分法。,34,第4节 振型叠加法,振型叠加法在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型 将方程转化为n个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数 值地进行积分。当采用数值方法时，对于每个方程可以采取各自 不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步

15、长。,这两者结合起来相当于直接积分法时很大的优点，因此当实际分 析的时间历程较长，同时只需要少数较低阶振型的结果时，采用 振型叠加法将时十分有利的。,35,第4节 振型叠加法,一、求解系统的固有频率和固有振型,此计算步骤是求解不考虑阻尼影响的系统自由振动方程，即,它的解可以假设为以下形式,（4.1）,其中，是n阶向量，是向量的振动频率，t是时间变量，t0 是由初始条件确定的时间常数。,36,第4节 振型叠加法,解方程确定和。特征向量1， 2， n代表系统的n个 固有振型。它们的幅度可按以下要求规定,这样规定的固有振型又称为正则振型，今后所用的固有振型，只 指这种正则振型。固有振型对于矩阵M是正

16、交的。,在有限元分析中，特别是动力分析中，方程的阶数很高而求解 的特征解又相对较少的特征值问题，称为大型特征值问题。,（4.2）,n自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。,对应于,相减,关于正则振型,表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。,Ki称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。,可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。,