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1、三角形的中位线,回顾与联想：, ABCD,(1) ABCD, BCAD,(2) AB=CD，BC=AD,(4) A= C ， B= D,(5) AO=OC, BO=OD,(3) ABCD,AB=CD,A,B,C,D,O,平行四边形的判定方法,A 。,。B,A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？,这堂课，我们将教大家一种测量的方法。,连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线,三角形有三条中位线,D、 E分别为AB、AC的中点 DE为ABC的中位线,三角形的中位线和三角形的中线是否相同？,DF、EF也为ABC的中位线,E,D,F,定义,画出ABC中所有
2、的中位线,注意：,三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段,三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段,区分三角形的中位线和中线：,理解三角形的中位线定义的两层含义:, DE为ABC的中位线, D、E分别为AB、AC的中点,DE为ABC的中位线, D、E分别为AB、AC的中点,一个三角形共有三条中位线。,定义,A,B,C,D。,。E,。F,在ABC中，中位线DE和边BC什么关系?,DE和边BC关系,数量关系：,位置关系：,DEBC,D,E,平行,DE是BC的一半,观察猜想,如图，点D、E分别是ABC的边AB、AC的中点，求证DEBC且DE= BC,证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC
3、、DC、AF,四边形ADCF是平行四边形,四边形DBCF是平行四边形,AE=EC,CFDA，CF=DA,CFBD，CF=BD, DFBC，DF=BC,又 DE= DF,DEBC且DE= BC,想一想：还可以怎样做辅助线？,三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半,用符号语言表示,三角形中位线定理, 证明平行问题 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半,适用范围:,A 。,。B,C 。,D。,。 E,如图，在A、B外选一点C，连结AC和BC，,并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。,1.三角形各边的长分别为6 cm、8 cm 和 10 cm ，求连
4、接各边中点所成三角形的周长.,AB=10 cm,BC=8 cm,AC=6 cm,EF=5 cm,DF=4 cm,DE=3 cm,12 cm,练一练,三角形三条中位线所围成三角形周长是原三角形周长的一半,例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？,有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形,有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线,温馨提示：,顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形,例2：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于 点F、G，连接AC交BD
5、于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF,A,D,B,C,E,G,F,O,提示:证明ABF ECF,得BF=CF,再证OF是ABC的中位线.,1已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形,课堂练习,提示:连接AC或BD,2、ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点.求证：OE= BE.,课堂练习,提示:取AE的中点F，连接 DF,总结,通过这节课的学习你有哪些收获？,1.三角形的中位线定义.,2.三角形的中位线定理.,3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中
6、给出一边的中点时，要转化为中位线.,4.线段的倍分要转化为相等问题来解决.,小结,证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G AGBCEAG=ECF AEGCEFAG=FC，GE=EF 又ABGF，AGBF四边形ABFG是平行四边形 BF=AG=FC，AB=GF 又D为AB中点，E为GF中点，DB=EF 四边形DBFE是平行四边形 DEBF，即DEBC，DE=BF=FC 即DE=1/2BC,A,B,C,E,D,F,G,过D作DEBC，交AC于E点,D为AB边上的中点,所以DE与DE重合，因此DEBC,同样过D作DFAC，交BC于F,BF=FC= 1/2BC (经过
7、三角形一边的中点与 另一边平行的直线必平分第三边),四边形DECF是平行四边形,DE=FC DE=1/2BC,A,B,C,D,E,E,F,证明：,三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。,如果 DE是ABC的中位线 那么 DEBC， DE=1/2BC, 证明平行问题 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2,用 途,A,B,C,D,E,1.如图1：在ABC中，DE是中位线（1）若ADE=60，则B= 度，为什么？（2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？,2.如图2：在ABC中，D、E、F分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则DEF的周长= c
8、m,图1,图2,60,4,12,A,B,C,D。,。E,B,A,C,D 。,。E,。F,5,4,3,3. 梯形ABCD中ADBC，对角线AC、BD相交于点O，A、 B、C、D分别是AO、BO、CO、DO中点，则四边形ABCD是_若梯形ABCD周长为10，由四边形ABCD的周长为_,梯形,5,A 。,。B,C 。,D。,。 E,4. 在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出 AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度， 也就能知道AB的距离了。为什么？如果测的DE =20m，那么A、B两点间的距离是多少？为什么？,20,40,随着学习的不断深入，同学们将会有更多的办法来解决这个问题,进
9、入几何画板,顺次连结一个四边形各边中点，会得到什么样的图形呢？,例1,例1.求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形,求证：四边形EFGH是平行四边形,证明:连结AC,AH=HD CG=GD,HGAC,(三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半),同理EFAC,HGEF且HG=EF,四边形EFGH是平行四边形,在四边形ABCD另加条件AC=BD， 四边形EFGH是菱形，为什么？在四边形ABCD另加条件ACBD，四边形EFGH是什么特殊四边形？为什么？若四边形EFGH是正方形，AC与BD应满足什么条件？,2. 连结BD 证：EH = FG,3.连结AC、BD ，证：EFHG
10、， EHFG4.连结AC、BD， 证：EF=HG， EH=FG,1.连结AC， 证：EF= HG,如果四边形ABCD是特殊的四边形，将会有特殊的平行四边形EFGH出现吗？,小 结,三角形中位线定义,三角形中位线定理,三角形中位线定理应用,作业,1. 如图,AF=FD=DB,FGDEBC,PE=1.5,则BC= ,3,4.5,9,2. 已知：如图 E、F把四边形ABCD的对角线BD三等分，CE、CF的延长线分别平分AB、AD .求证：四边形ABCD是平行四边形 .,A,B,D,C,E,F,G,H,已知：如图 E、F分别是AC、BD的中点，CD AB，E、F不都是对角线的交点 . 求证： EF 1
11、/2（CD AB） .,图2,G,图3,注意：在处理这些问题时,要求出现三角形及中位线 有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 有三角形而无中位线,要作中点的连线或过中点作平行线,定 理 应 用：,定理为证明平行关系提供了新的工具 定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径 解决“中点问题”,三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段,三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段,三角形的中位线是三角形中一种重要的线段,它与三角形的中线不同：,理解三角形的中位线定义的两层含义:, DE为ABC的中位线,D、E分别为AB、AC的中点,DE为ABC的中位线, D、E分别为
12、AB、AC的中点,一个三角形共有三条中位线。,定义,如果 DE是ABC的中位线那么 DEBC， DE=1/2BC, 证明平行 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2,A,B,C,D,E,三角形的中位线定理 是三 角形 的一个重要性质定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半. .,定理的主要用途：,必做题：P184 页 4 、6 ; P180页 4 让学生自选一个顺次连结特殊四边形中点的问题，总结形成文字命题，并加以证明 把证明三角形中位线定理的几种方法整理出来 选做题：,作 业,END,顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是,顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是,顺次连结
13、矩形四边中点所得的四边形是,顺次连结菱形四边中点所得的四边形是,顺次连结正方形四边中点所得的四边形是,填空题：,已知:梯形ABCD,ADBC,对角线AC、BD相交于点O, A、B、C、D分别是AO、BO、CO、DO的中 点, 求证:四边形ABCD是梯形梯形ABCD的周长=梯形ABCD的周长的2倍,A,B,C,D,O,D,C,B,A,证明: AD为OAD的_ AD _1/2AD 同理：BC =_,ADBCAD _BC，由ADBC AD _BC四边形ABCD是梯形, _为OAD的中位线 AD=_AD 同理：AB=_ _=2BC, CD_2CD,AD+AB+BC+CD= 2(AD+AB+BC+CD),中位线,=,1/2BC,AD,2,2AB,BC,=,在四边形ABCD另加条件AC=BD， 四边形EFGH是菱形，为什么？在四边形ABCD另加条件ACBD，四边形EFGH是什么特殊四边形？为什么？若四边形EFGH是正方形，AC与BD应满足什么条件？,如果四边形ABCD是特殊的四边形，将会有特殊的平行四边形EFGH出现吗？,END,
