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1、自动控制原理,浙江理工大学 “自动控制原理”精品课程课题组,浙江省精品课程,第五章 线性系统的频域分析,引言 5.1 频率特性 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 频域 稳定判据和系统的相对稳定性 5.5 闭环系统的频域性能指标 5.6 Matlab在系统频域分析中的应用,引言,1. 为什么要对系统进行频域分析？ 时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处： 计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大； 对于高阶系统十分不便，难以确定解析解； 不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确定主要因素； 不能直观地表现出系统
2、的主要特征。 频域分析法:是一种间接的研究控制系统性能的工程方法。它研究系统的依据是频率特性，频率特性是控制系统的又一种数学模型。,2. 频率响应、频率特性和频域分析法 频率响应:正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成） 频率特性:系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。 控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。 频域分析法:利用系统频率特性分析和综合控制系统的方法。,3. 频域分析法的优点(1) 物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性
3、能指标有明确的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。(2) 可以用试验方法求出系统的数学模型，易于研究机理复杂或不明的系统；也适用于某些非线性系统。(3) 可以根据开环频率特性研究闭环系统的性能，无需求解高次代数方程。这一点，与根轨迹法有异曲同工之妙，只是前者的自变量是频率，而后者的参数一般是开环增益K。(4) 能较方便地分析系统中的参量对系统动态响应的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径。(5) 采用作图方法，计算量小，且非常直观。,4 频率特性的定义 幅频特性：LTI系统在正弦输入作用下，稳态输出振幅与输入振幅之比，用A()表示。相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用()表示。
4、幅频A()和相频 ()统称幅相频率特性。,如果将输入、输出的正弦函数分别表示为Arej0和Acej,则输出与输入的复数比为频率特性：LTI系统正弦输入作用下，输出稳态分量和输入的复数比（也就是幅相频率特性，简称幅相特性）。 频率特性与传递函数之间的关系：,可见，将传递函数中s用j代替即得频率特性表达式。,频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。,(1) 幅频特性、相频特性、幅相特性 A、幅频特性曲线以频率为横坐标，以幅频A()为纵坐标，画出A()随频率变化的曲线。 B、相频特性曲线以频率为横坐标，以幅频()为纵坐
5、标，画出()随频率变化的曲线。,图5-2 RC电路的幅频和相频特性,C、幅相特性曲线（极坐标图）Nyquist图 幅相特性曲线是将频率作为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复数平面上。图上实轴正方向为相角零度线，逆时针旋转为正。（复数表示、极坐标图） 将G(j)分为实部和虚部(代数表示)，即,X()和Y()分别称为实频特性和虚频特性。,取横坐标X() ，纵坐标表示Y() ，也可得到系统的幅相曲线(实虚频图)。,图5-3 RC电路的乃氏图,(2)对数频率特性Bode图 在工程实际中，常常将频率特性画成对数坐标图形式，这种对数频率特性曲线又称Bode图，由对数幅频特性和对数相频特性组成。 Bode
6、图的横坐标按lg分度（10为底的常用对数），即对数分度，单位为弧度/秒（rad/s） 对数幅频曲线的纵坐标按 线性分度，单位是分贝（dB）。 对数相频曲线纵坐标按()线性分度，单位是度。 由此构成的坐标系称为半对数坐标系。,对数分度和线性分度,图5-4 对数分度和线性分度,几点说明： 对数频率特性采用的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况。 采用对数幅频特性则将幅值的乘除运算化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。 =0不可能在横坐标上表示出来； 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定； 只标注的自然对数值。,令=1，则用MATLAB画出书中RC电路
7、的伯德图如图5所示bode(1,1 1),图5 RC电路的Bode图,5.2 典型环节的频率特性,用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干典型环节的频率特性组成的。 本节介绍七种常用的典型环节。,一、比例环节比例环节的频率特性为 显然，它与频率无关。相应的幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性,图5-6 比例环节的Nyquist图,图5-7 比例环节的Bode图,二、积分环节积分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性为,图5-8 积分环节的Nyquist图,图5-9 积分环节的Bode图,对数幅
8、频特性为一条斜率为20dB/dec的直线，此线通过L()=0，=1的点,幅频特性与角频率成反比，相频特性恒为90,三、微分环节微分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性为,图5-10 微分环节的Nyquist图,图5-11 微分环节的Bode图,其对数幅频特性为一条斜率为20dB/dec的直线，它与0dB线交于=1点。,微分环节的幅频特性等于角频率，而相频特性恒为90。,四、惯性环节惯性环节的频率特性,写成实部和虚部形式，即,幅频特性和相频特性,惯性环节的Nyquist图是圆心在(0.5,0)，半径为0.5的半圆。,图5-12 惯性环节的Nyquist图,对数幅频特性和相
9、频特性为,低频段： 高频段： 惯性环节对数幅频特性曲线为图5-13的渐近线。,1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、转角频率。(这是一个很重要的概念)。,图5-13 惯性环节的Bode图,低通滤波特性！,图5-14 MATLAB绘制的惯性环节的Bode图,两点说明： 惯性环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差,由表可知，在交接频率处误差达到最大值。,()是关于1/T,()=-45点中心对称的 。,五、一阶微分环节频率特性幅频特性和相频特性、对数幅频特性和相频特性为,一阶微分环节的Bode图（如图5-16所示）与惯性环节的Bode图（如图5-13所示）关于横轴对称。,图5-1
10、5 一阶微分环节的Nyquist图,图5-16 一阶微分环节的Bode图,高频放大！抑制噪声能力的下降！,惯性环节,一阶微分,频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。,六、二阶振荡环节(要重视！)频率特性幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性,图5-17 二阶振荡环节的Nyquist图,频率特性的端点取值,低频段： 高频段： 二阶振荡环节Bode图可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示（如图5-18所示）。,二阶振荡环节的对数幅频特性可作如下简化(不考虑阻尼比)：,图5-18 二阶振荡环节的Bode图,低频段和高频段的两条直线相交处的
11、交接频率为=1/T，称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率。 在交接频率附近，对数幅频特性与渐近线存在一定的误差，其值取决于阻尼比的值，阻尼比越小，则误差越大.,二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差（dB）,七、迟后环节频率特性幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性,Nyquist图是一个以坐标原点为中心，半径为1的圆,如果用线性坐标，则迟后环节的相频特性为一条直线,迟后环节的Nyquist图和Bode图分别如图5-19和图5-20所示。,图5-19 迟后环节的Nyquist图,图5-20 迟后环节的Bode图,5.3 控制系统开环频率特性曲线的绘制,控制系统开环频率特性的典型环节分
12、解 开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图） 开环对数频率特性曲线的绘制（Bode图） 最小相位系统（minimum phase system）,一、控制系统开环传递函数的典型环节分解设其开环传递函数由若干个典型环节相串联其开环频率特性,所以，系统的开环幅频和相频分别为系统的开环对数频率特性为,二、开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图） 绘制Nyquist图 有时并不需要绘制得十分准确 只需要绘出Nyquist图的大致形状和几个关键点的准确位置（如与坐标轴的交点）就可以了。 开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制概略开环幅相曲线的基础。,1. 几种开环传函的Nyquist图(
13、1) 开环传函中不包括积分环节和微分环节，即,只包含比例和惯性环节的0型系统Nyquist图,特点：当开环传函由n个惯性环节与比例环节串联时，Nyquist从正实轴开始，随从0变化时，顺时针转过n个象限。,(2)开环传函中含有一阶微分环节，即例如m=1,n=3,=0 G(j0)=K0,= G(j)=0(90-3 90) 0(-2 90),可见，开环传函中分子含有一阶微分环节，其开环Nyquist图可能出现凹凸。但起点仍从正实轴开始。,m=1,n=3，且T1,T2 1T3时，系统开环Nyquist曲线。,若开环传函中分子含有m个一阶微分环节，分母含有n个惯性环节，其Nyquist图随的变化趋势为
14、,=0 G(j0)=K0,= G(j)=0(m90-n 90) 0(m-n) 90,(3)开环传函中含有积分环节，即型系统（1）II型系统（ = 2）,只包含惯性环节的I型系统Nyquist图,只包含惯性环节的II型系统Nyquist图,开环传递函数含有积分环节时，零频时的幅值为无穷大！,2. 系统开环幅相特性的特点 当频率=0时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。,其余依此类推。,当=时，若nm，其G(j)的模为零，相角为(m-n) 90,即 G(j)= 0(m-n) 90 若G(s)分子中含有s因子的环节时，其G(j)曲线将随变化可能发生凹凸弯曲。不含s因子的环节时， G(j)曲
15、线将随变化将是一条平滑曲线。,开环幅相曲线与实轴的交点是一个关键点，确定方法如下（2种） A.利用G(j)的虚部ImG(j)=0的关系式求出； B.利用G(j) = n180(其中n为整数)求出。 该点所对应的频率称为（相角）穿越频率。,3.Nyquist图绘制方法 写出A() 和() 的表达式； 分别求出 = 0和 =+ 时的G(j)； 求Nyquist图与实轴的交点； 如果有必要，可求Nyquist图与虚轴的交点，交点可利用G(j)的实部ReG(j)=0的关系式求出，也可利用G(j) = n90(其中n为正整数)求出； 必要时画出Nyquist图中间几点； 勾画出大致曲线。,例5-1 已知系统的开环传递函数，绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。,Nyquist图与实轴相交时,例5-2 已知系统的开环传递函数，绘制系统的开环Nyquist图。,例5-3 设系统的开环传递函数为试绘制其Nyquist图。,三、开环对数频率特性曲线的绘制（Bode图）1. Bode图绘制的概述和例题分析 回顾前面的讨论可见，开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性之和；系统开环相频等于各环节相频之和。 将各环节对数幅频特性用其渐近线代替，以及对数运算的优点（乘除运算对数化后变为加减），可以很容易绘制出开环对数频率特性。,
