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1、1导数压轴题型归类总结导数压轴题型归类总结目目 录录一、一、导数单调性、极值、最值的直接应用导数单调性、极值、最值的直接应用 （1 1） 二、二、交点与根的分布交点与根的分布 （2323） 三、三、不等式证明不等式证明 （3131）（一）作差证明不等式（一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式 四、四、不等式恒成立求字母不等式恒成立求字母范范围围 （5151）（一）恒成立之最值的直接应用（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数（二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围（三）恒成
2、立之讨论字母范围 五、五、函数与导数性质的函数与导数性质的综综合合运运用用 （7070） 六、六、导数应用题导数应用题 （8484） 七、七、导数结合三角函数导数结合三角函数 （8585）书中常用结论，变形即为sin1x x ，其几何意义为sin ,(0, )yx x上的的点与原sin,(0, )xx x点连线斜率小于1.1xexln(1)xxln,0xxxex.2一、导数单调性、极值、最值的直接应用1.（切线）设函数axxf2)(.（1）当1a时，求函数)()(xxfxg在区间 1 , 0上的最小值；（2）当0a时，曲线)(xfy 在点)(,(111axxfxP处的切线为l，l与x轴交于点
3、)0 ,(2xA求证：axx21.解：(1)1a时，xxxg3)(，由013)(2xxg，解得33x .)(xg的变化情况如下表：x0)33, 0(33) 1 ,33(1)(xg-0+)(xg0极小值0所以当33x 时，)(xg有最小值932)33(g .(2)证明：曲线)(xfy 在点)2 ,(2 11axxP处的切线斜率112)(xxfk曲线)(xfy 在点P处的切线方程为)(2)2(112 1xxxaxy.令0y，得12 1 22xaxx ，12 1 1 12 1 1222xxaxxaxxxax 1，0212 1 xxa，即12xx .又11 22xax ，axax xax xaxx11
4、1112 1 2222222所以axx21.2.（2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR当0a 时，求曲线( )(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当2 3a 时，求函数( )f x的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础 知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。.3) 1 ( )2()( )(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3)1 (, 1 ()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 .42)2()( 2
5、2xeaaxaxxfw.w.w.k.s.5.u.c.o.m . 2232. 220)( aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论：3a若32，则a22a.当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表： xa2，a222aa，2a ，2a+00+ 极大值极小值 .)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf .3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数a若32，则a22a，当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如
6、下表： x2a，2aaa22 ，a2，a2+00+ 极大值极小值 内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf .)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数3.已知函数221( )2, ( )3ln.2f xxax g xaxb设两曲线( )( )yf xyg x与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a ，试建立b 关于a的函数关系式，并求b的最大值；若0,2, ( )( )( )(2)bh xf xg xab x在(0,4)上
7、为单调函数，求a的取值范围。44.（最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=lnxa x.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1,e上的最小值为，求a的值.3 2解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,)，且 f (x)2xa x .1 x2a xa0，f (x)0，故f(x)在(0,)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f (x)2xa x ， 若a1，则xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为增函数，f(x)minf(1)a，a (舍去).3 23 2 若ae，则xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为减函数，
8、f(x)minf(e)1a e，a(舍去).3 22e若e0，f(x)在(a,e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1a.3 2e综上可知：a.e5.（最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2xaxxxf，其中aR.（）若2x 是)(xf的极值点，求a的值；（）求)(xf的单调区间；（）若)(xf在0,)上的最大值是0，求a的取值范围.解：（）(1)( ),( 1,)1xaaxfxxx .依题意，令(2)0f ，解得 1 3a . 经检验，1 3a 时，符合题意. 5（）解： 当0a时，( )1xfxx.故)(xf的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0 , 1(. 当0a 时，令
9、( )0fx，得10x ，或211xa.当10 a时，( )f x与( )fx的情况如下：x1( 1,)x1x12( ,)x x2x2(,)x ( )fx00( )f x1()f x2()f x所以，( )f x的单调增区间是1(0,1)a；单调减区间是)0 , 1(和1(1,)a.当1a时，)(xf的单调减区间是), 1(. 当1a 时，210x ，( )f x与( )fx的情况如下：x2( 1,)x2x21(,)xx1x1( ,)x ( )fx00( )f x2()f x1()f x所以，( )f x的单调增区间是1(1,0)a；单调减区间是1( 1,1)a和(0,). 当0a时，)(xf
10、的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0 , 1(.综上，当0a 时，)(xf的增区间是(0,)，减区间是)0 , 1(；当10 a时，( )f x的增区间是1(0,1)a，减区间是)0 , 1(和1(1,)a；当1a时，)(xf的减区间是), 1(；当1a 时，( )f x的增区间是1(1,0)a；减区间是1( 1,1)a和(0,).（）由（）知 0a 时，)(xf在(0,)上单调递增，由0)0(f，知不合题意.当10 a时，)(xf在(0,)的最大值是1(1)fa，由1(1)(0)0ffa，知不合题意.当1a时，)(xf在(0,)单调递减，可得)(xf在0,)上的最大值是0)0(f，符合题
11、意. 所以，)(xf在0,)上的最大值是0时，a的取值范围是1,).66.（20102010北京理数北京理数18）已知函数=ln(1+x)-x+2 2xx (k0).( )f x()当k=2时，求曲线y=在点(1,f(1)处的切线方程；( )f x()求的单调区间.( )f x解：（I）当2k 时，2( )ln(1)f xxxx，1( )121fxxx 由于(1)ln2f，3(1)2f ，所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为3ln2(1)2yx即322ln230xy（II）(1)( )1x kxkfxx，( 1,)x .当0k 时，( )1xfxx .所以，在区间( 1,0)
12、上，( )0fx ；在区间(0,)上，( )0fx .故( )f x得单调递增区间是( 1,0)，单调递减区间是(0,).当01k时，由(1)( )01x kxkfxx，得10x ，210kxk所以，在区间( 1,0)和1(,)k k 上，( )0fx ；在区间1(0,)k k上，( )0fx 故( )f x得单调递增区间是( 1,0)和1(,)k k ，单调递减区间是1(0,)k k.当1k 时，2 ( )1xfxx故( )f x得单调递增区间是( 1,) .当1k 时，(1)( )01x kxkfxx，得11( 1,0)kxk ，20x .所以没在区间1( 1,)k k 和(0,)上，(
13、)0fx ；在区间1(,0)k k上，( )0fx 故( )f x得单调递增区间是1( 1,)k k 和(0,)，单调递减区间是1(,0)k k7.（2010山东文21，单调性）已知函数1( )ln1()af xxaxaRx当1a 时，求曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程；7当1 2a 时，讨论( )f x的单调性.解：ln20xy因为 11ln)(xaaxxxf ，所以 211)( xaaxxf221 xaxax ，), 0( x，令 ,1)(2axaxxg), 0( x8.(是一道设计巧妙的好题，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合 零点存在性定理不好想
14、，联系紧密)已知函数( )ln , ( ).xf xx g xe若函数 (x) = f (x)1 1x x+ -，求函数 (x)的单调区间；设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切解：（） 1( )1xxf xx11lnxxx， 22211 121 xxx xxx0x 且1x ， 0x函数( )x的单调递增区间为 ，和11 , 0（）1( )fxx ，0 01()fxx， 切线l的方程为00 01ln()yxxxx, 即0 01ln1yxxx, 设直线l与曲线( )yg x相切于点1 1( ,)xx e，( )xg x
