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1、12.3 幂 函 数一、幂函数的概念1、幂函数的概念：一般地，函数 f(x)叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数。axa注意：（1）系数为 1；（2）底数是自变量 x；（3）指数为常数。例 1：判断下列函数哪些是幂函数：y4x yx4 y4x y4xyx y y(21)x (且1)xaa21a【解析】：（2） （3） （5）例 2：已知幂函数 f(x)的图象经过点(2，)，则 f(4)的值为( )22A：16 B： C： D：2161 21【解析】：C变式练习：幂函数 f(x)的图象过点(4，)，且 f(x)8，则 x( )21A： B：64 C： D：2242 641【解析】：D2、幂函
2、数的图象2在同一平面直角坐标系内的幂函数 f(x) 当3，2，1，1，2 的图象axa21 31幂函数在第一象限的图象特征：（1）1，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增。a （2）01，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增。a （3）0，图象过点(1，1)，下凸递减，且向两坐标轴无限逼近。a例 3：指出下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。（1）f(x) （2）g(x) （3）h(x) （4）r(x)4x41 x3x32 x变式练习：函数 g(x)的定义域为（ ）32 x34 xA：(，) B：(，0)(0，) C：(，0) D：(0，) 【解析】：B 例 4：比较下列各组数的大小（1
3、） ， （2），3)2(3)5 . 2(87 887 7【解析】： 变式练习 1：实数32 )32( ，32 3，32 2的大小关系用“”顺次连接是_。【解析】： 32 332 )32(32 2变式练习 2：设(1，0)，则下列不等式中正确的是（ ）aA： B： a2a2a2 . 0a2 . 0a2a2C： D：a2a2 . 0a2a2a2 . 0a2【解析】：B 例 5：当 x(1，)时，幂函数 y的图象恒在 yx 的下方，则的取值范围是（ axa） A：01 B：1 C：0 D：0aaaa 【解析】：B变式练习 1：函数 f(x)(nN，n2)的图象只可能是（ ）nx13【解析】：C变式练
4、习 2：幂函数 y，y，y的图象如下图所示，mxnxpx则（ ）A：mnp B：mpn C：npm D：pnm【解析】：A变式练习 3：幂函数 y(m、nN，且 m、n 互质)的图象mn x如下图所示则（ ）A：m 为奇数，n 为偶数，1mnB：m、n 均为奇数，1mnC：m 为奇数，n 为偶数，1mnD：m 为偶数，n 为奇数，1mn【解析】：A例 6：已知幂函数 f(x) (mN)mmx21（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点(2，)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2)f(a1)的实2a数a的取值范围。【解析】：（1）m2mm(m1)，
5、则 m 与(m1)中必有一个为偶数，则 m2m 为偶数，故定义域，在定义域内为增函数；（2）若该函数还经过点(2，)，则 m2m2 , 02，m1 或 m2，mN，m1，f(x)，函数 f(x)在是增函数，故21 x, 01 120201aaaaa324变式练习 1：已知函数 f(x) (mN)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上函数93mx值随 x 的增大而减小，求满足33)23() 1(mm aa的a的范围。【解析】：函数 f(x) 在(0，)减函数，故 3m90，m3，mN，m 可取1、2、3，又因为 f(x)偶函数，故 m1；，则31 31 )23() 1(aa。则(a1)(32)0
6、 或(32)(a1)0，得a或a1aa32 23课 后 综 合 练 习1、下列函数中，是幂函数的是（ ）A：B：C：D：xy22xyxy2log21 xy【解析】：D2、在函数 y，y3x3，yx22x，yx1，yx2中，幂函数有 ( )1x2 A：1 个 B：2 个 C：3 个 D：4 个 【解析】：B3、若幂函数在第一象限内的图象如图所示，则的取值可能为 xy ( )A：1 B：2 C：3 D：21【解析】：D4、幂函数 在第一象限的图象如图所abcdyxyxyxyx， 示，则a，b，c，d 的大小关系是 ( ) A：bcd B：dbc aa C：dcb D：bcdaa 【解析】：D5、已
7、知幂函数 yf(x)的图象经过点(2，)，则 f(4)的值为 ( )22A：16 B：2 C： D：21 161【解析】：C6、函数34 xy 的图象是 （ ）A： B： C： D： 【解析】：A57、函数3xy 和31 xy 图象满足 （ ） A：关于原点对称 B：关于x轴对称 C：关于y轴对称 D：关于直线xy 对 称 【解析】：D8、 函数Rxxxy|,|，满足（ ） A：是奇函数、减函数 B：是偶函数、增函数 C：是奇函数、增函数 D：是偶函数、减函数 【解析】：C 9、写出下列函数的定义域，判断其奇偶性 （1）的定义域_，奇偶性为_2xy （2）的定义域 _，奇偶性为_3xy （3）
8、的定义域_，奇偶性为_ 21 xy （4）的定义域_，奇偶性为_ 31 xy （5）的定义域_，奇偶性为_ 1 xy【解析】：（1）R 偶 （2）R 奇 （3） 非 （4）R 奇 （5）x0 奇, 010、设，如果 f(x)是正比例函数，则 m_，如果 f(x)是反比22) 1()(mxmxf 例函数，则 m_，如果 f(x)是幂函数，则 m_。【解析】： 1 2311、若一个幂函数的图象过点，则的解析式为_。)(xf)41, 2()(xf【解析】：2)( xxf12、比较下列各组数的大小（1） （2） （3）7 . 17 . 14 . 3_5 . 33 . 03 . 03 . 1_2 . 1
9、6 . 16 . 15 . 2_4 . 2【解析】： 13、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围为 12mxy, 0m。【解析】：m2114、已知函数 f(x)是幂函数，求实数的值为 。1222) 1(mmxmmm【解析】：m0 或 m115、已知幂函数 f(x) (pN)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，求3px满足 的 的取值范围。3) 1(p a 3)23(p aa【解析】：p30，p3，函数是偶函数，则 p1，(1)31 ) 1( a31 )23(aa6(32)，4aa16、已知幂函数 f(x)在(0，)上是增函数，函数 g(x)。求2422) 1(mmxmkx2 （1）求实数 m 的值；（2）当 x1，2时，设 f(x)的值域为 A，g(x)的值域为 B，若 ABA，求实数 k 的取值范围。 【解析】：(m1)21，则 m2 或 m0，函数在(0，)上是增函数，故 m0。 （2）由（1）当 x1，2时 f(x) 1，4，而 g(x) 2k，4k，ABA，故BA，则则 0k1 4412 kk
