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1、1,二、中值定理的应用,一、几个中值定理,中值定理及其应用,数学竞赛专题辅导：,2,罗尔定理：,拉格朗日定理：,柯西定理：,1. 微分中值定理,一、 几个中值定理,3,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,若函数,内具有 n + 1 阶导数,泰勒中值定理：,4,基本初等函数的麦克劳林公式,5,微分中值定理之间的相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,6,2. 零点定理与介值定理,1)零点定理 ：,至少有一点,且,使,2)介值定理：,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值,之间的任何值 .,7,3. 费马定理,取得极值,4. 积分中值定理,积分中值定理
2、,微分中值定理,注：,牛顿 莱布尼茨公式,8,1. 证明恒等式.,2. 证明不等式.,4. 证明有关中值问题的结论.,经验1:,二、中值定理的主要应用,利用中值定理证明不等式的步骤:,(3) 根据 a b 的关系,证明出不等式.,(2) 利用中值定理,(1) 设出辅助函数和区间，,经验2：,经验3: 欲证,(1)设函数,(2)验证函数 在区间 上满足罗尔定理.,3. 极限的计算.,9,1. 证明恒等式,例1. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,二、中值定理的主要应用,10,例1. 证明不等式,证: 设,即,因为,所以,因
3、此应有,2.证明不等式,11,例2 证明：,12,例3. 设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,13,例4. 设函数 f (x)在（a，b）可导，且,证明f (x)在（a，b）内有界.,证: 取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证 .,14,例1,3. 极限的计算.,15,4. 证明有关中值问题的结论,题型一.,保号性定理,例1. 设,试证：,证: 不妨设,必有,使,故,保号性定理,必有,使,故,又在,上,连续,由零点定理知, 存在,16,例2. 设,17,例2. 设,18,题型二.,常用的构造函数的几种模型,19
4、,例4. 设,保号性定理,证: 不妨设,必有,保号性定理,必有,20,例5. 设,证:,21,例6. 设,证:,22,例7,证明：,23,题型三.,例7. 设,解：,24,例7. 设,25,例7. 设,26,27,题型四.,28,例8. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,上连续, 在,分析: 问题转化为证：,证明：设辅助函数,显然,故至少,使,即有,存在一点,29,例8.设,证明：,设辅助函数,只需验证：,分析:,30,例8.设,证明：,31,例9.设,证明：,设辅助函数：,只需验证：,分析:,32,题型五.,33,例10.设,分析:,34,题型六.,例11.,试证存在,证: 欲证,将代
5、入 , 化简得,故有,即要证,35,已知函数,内可导, 且,证: (1) 令,使,即,(2005 考研数1,2),(2) 根据拉格朗日中值定理,使,练习.,36,练习：,分析：,解：,37,Cauchy中值定理 应用举例,证明：,所以,38,备用. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示: 设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,39,总之， 有关中值问题的解题方法:,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中值定理 .,40,5、泰勒公式用于无穷小的阶的估计,41,42,6、泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数,例1,43,(2) f (x) 在 x = 0 的某邻域内二阶可导，且有,求,解 由题设可得,原式左端,所以有,由此可得,44,7、利用泰勒公式判别函数的极值、曲线的拐点,，,例1,45,46,
