《圆锥曲线定点、定直线、定值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线定点、定直线、定值问题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1定点、定直线、定值专题1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值CxC3 为 1（）求椭圆的标准方程；C（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点） ，且以为直径的圆过l:ykxmCABAB，AB椭圆的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标Cl【标准答案标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，3,1acac22,1,3acb22 1.43xy(II)设，由得，1122( ,), (,)A x yB xy22 143ykxmxy222(34)84(3)0kxmkxm，.22226416(34)(3)0m kkm 223
2、40km212122284(3),.3434mkmxxxxkk 22 22 1212121223(4)() ()().34mkyykxmkxmk x xmk xxmk以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点，(2,0),D1ADBDkk 1212122yy xx (最好是用向量点乘来)，1212122()40y yx xxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmk kkk，解得，且满足.2271640mmkk1222 ,7kmk m 22340km当时，直线过定点与已知矛盾；2mk :(2)l yk x(2,0),当时，直线过定点2 7km 2:()7l yk x2( ,0).7
3、综上可知，直线 过定点，定点坐标为l2( ,0).72、已知椭圆 C 的离心率，长轴的左右端点分别为，。 （）求椭圆 C 的方程；3e21A2 , 02A2 , 0（）设直线与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线与交于点 S。试问：当 m 变化时，点 Sxmy11A P2A Q2是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆的方程为。 1 分C2222xy1 ab0ab，。4 分a2c3ea2c3222bac1椭圆的方程为。5 分C2 2 2xy14（）取得，直线的方程是m0,33P 1,Q 1,221A P33yx,63直线的方程是交点为
4、7 分,2A Q3yx3,21S 4, 3 .若，由对称性可知交点为33P 1,Q 1,222S4,3 .若点在同一条直线上，则直线只能为。8 分S:x4以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得m,1A P2A QS:x42 2xy14 xmy1 即，22my14y4,22m4 y2my30记，则。9 分1122P x ,y,Q x ,y1212222m3yy,y ym4m4设与 交于点由得1A P00S (4,y ),011yy,42x21 0 16yy.x2设与 交于点由得 102A Q00S (4,y ),022yy,42x22 0 22yy.x2 12 00 126y
5、2yyyx2x2 1221126ymy12ymy3x2x2 1212124my y6 yyx2x2，12 分221212m12m m4m40x2x2，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。 13 分00yy0S0SmS:x4解法二：（）取得，直线的方程是直线的方程是m0,33P 1,Q 1,221A P33yx,632A Q交点为7 分3yx3,21S 4, 3 .取得，直线的方程是直线的方程是交点为m1,8 3P,Q 0, 15 51A P11yx,632A Q1yx1,2若交点在同一条直线上，则直线只能为。8 分2S4,1 .S:x43以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事
6、实上，由得m,1A P2A QS:x42 2xy14 xmy1 即，记，则。22my14y4,22m4 y2my301122P x ,y,Q x ,y1212222m3yy,y ym4m49 分的方程是的方程是消去得1A P11yyx2 ,x22A Q22yyx2 ,x2y,1212yyx2x2x2x2以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证x412126y2y,x2x2即证12213ymy1ymy3 ,12122my y3 yy.式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线1212226m6m2my y3 yy0,m4m4mS上。:x4解法三：（）由得即。2 2xy14 xmy
7、1 22my14y4,22m4 y2my30记，则。6 分1122P x ,y,Q x ,y1212222m3yy,y ym4m4的方程是的方程是7 分1A P11yyx2 ,x22A Q22yyx2 ,x2由得9 分1122yyx2 ,x2yyx2 ,x2 1212yyx2x2 ,x2x2即 21122112yx2yx2x2yx2yx2A 21122112ymy3y my12ymy3y my1A1221212my y3yy23yyA12 分112211232m2m3yym4m424.2m3yym4A A这说明，当变化时，点恒在定直线上。13 分mS:x43、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，
8、椭圆上的点到焦点的距离的最小值Ex为，离心率为212e2（）求椭圆的方程；E（）过点作直线 交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定1, 0EPQxMMP MQ 值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由M4解：（I）设椭圆 E 的方程为,由已知得：。 。 。 。 。2 分2222xy1abac21c2 a2椭圆 E 的方程为。 。 。 。3 分a2 c1222bac12 2xy12（）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：M(m,0)1122P(x ,y ),Q(x ,y )11221212MP(xm,y ),MQ(xm,y ),MP MQ(xm) (xm)y y 。 。 。
9、 。 。 5 分2 121212x xm(xx )my y当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为：，则llyk(x1)由得2 2xy12 yk(x1) 222x2k (x1)207 分2222(2k1)x4k x(2k2)0221212224k2k2xx, xx2k12k12 22 121212122ky yk (x1)(x1)k x x(xx ) 12k1 所以9 分222 2 2222k24kkMP MQmm2k12k12k1 2222(2m4m1)k(m2) 2k1对于任意的值，为定值，所以，得，kMP MQ 222m4m12(m2) 5m4所以；11 分57M( ,0),MP MQ41
10、6 当直线 的斜率不存在时，直线l1212121l:x1,xx2,x x1,y y2 由得5m47MP MQ16 综上述知，符合条件的点存在，起坐标为13 分M5( ,0)4法二：假设存在点，又设则：M(m,0)1122P(x ,y ),Q(x ,y ),1122MP(xm,y ),MQ(xm,y ) =.5 分1212MP MQ(xm) (xm)y y 2 121212x xm(xx )my y当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为，llxty1由得7 分2 2xy12 xty1 2 2(t2)y2ty 10 1212222t1yy,yyt2t2222212122121222t2tt2
11、2t2x x(ty1) (ty1)t y yt(yy ) 1t2t2 221212222t2t44xxt(yy )2t2t29 分2 2 2222t24m1MP MQmt2t2t2 2222(m2)t2m4m1 t2设则MP MQ 2222(m2)t2m4m1 t2 11 分2222222(m2)t2m4m1(t2)(m2)t2m4m120 22m202m4m120 5m4 7 16 5M( ,0)45当直线 的斜率为 0 时，直线，由得：ll:y05M( ,0)4 55257MP MQ( 2) (2)2441616 综上述知，符合条件的点存在，其坐标为。 。 。 。13 分M5( ,0)44
12、、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右x24xy2 5e 焦点作与坐标轴不垂直的直线 ，交椭圆于、两点。FlAB（I）求椭圆的标准方程；（）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；( ,0)M mOF()MAMBAB m（）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、CAxxNCBN 三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。N解法一： （I）设椭圆方程为，由题意知22221(0)xyabab1b 故椭圆方程为22 2 2255abaa2 215xy（）由（I）得，所以，设 的方程为（）(2,0)F02ml(2)yk x0k 代入，得 设2 215xy2222(51)202050kxk xk1122( ,), (,),A x yB xy则,2212122220205,5151kkxxx xkk12121212(4),()yyk xxyyk xx112212122121(,)(,)(2 ,),(,) MAMBxm yxm yxxm yyABxx yy12212112(),()0,(2 )()()()0
