圆的解题技巧总结

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1、guoshishuxue郭氏数学1圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用 给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB，垂 足为 P，再将纸片沿着直径 CD 对折，我们很容易发现 A、B 两点重合，即有结论 AP=BP， 弧 AC=弧 BC其实这个结论就是“垂径定理” ，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧 垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的 弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系 的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据 例 1 某居民

2、小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆 形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面 (1)请你补全这个输水管道的圆形截面； (2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个 圆形截面的半径例 2 如图，PQ=3，以 PQ 为直径的圆与一个以 5 为半径的圆相切于点 P，正方形 ABCD 的顶点 A、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点 Q，则 AB=？例 3 如图，已知O 中，直径 MN=10，正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM、OP 以 及O 上，并且POM=45，则 AB 的长为多少？例 4

3、 图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？guoshishuxue郭氏数学2二、与圆有关的多解题 几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解 有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解 1忽视点的可能位置例 5 ABC 是半径为 2 的圆的内接三角形，若cm，则A 的度数为32BC_2忽视点与圆的位置关系 例 6 点 P 到0 的最短距离为 2 cm，最长距离为 6 cm，则0 的半径是_3忽视平行弦与圆心的不同位置关系 例 7 已知四边形 ABCD 是0 的内接梯形，ABCD，AB=8 cm，CD=6 cm，0 的半径 是 5 cm

4、，则梯形的面积是_4忽略两圆相切的不同位置关系 例 8 点 P 在0 外，OP=13 cm，PA 切0 于点 A，PA=12 cm，以 P 为圆心作P 与0 相切，则P 的半径是_例 9 若O1与02相交，公共弦长为 24 cm，O1与02的半径分别为 13 cm 和 15 cm，则圆心距 0102的长为_三、巧证切线 切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点 判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径： 1圆心到直线的距离等于半径guoshishuxue郭氏数学3当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直 线的距离等于半径 例 10 如图，P

5、是AOB 的角平分线 OC 上一点，PDOA 于点 D，以点 P 为圆心，PD 为 半径画P，试说明 OB 是P 的切线2证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径 当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径） ，然后证明这条半径与直线垂直 即可 例 11 如图，已知 AB 为O 的直径，直线 BC 与0 相切于点 B，过 A 作 ADOC 交0 于点 D，连结 CD. (1)求证：CD 是0 的切线； (2)若 AD=2，直径 AB=6，求线段 BC 的长四、结论巧用，妙解题 例 12 已知：如图，O 为 RtABC 的内切圆，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 边上的切点，求证：

6、BDADsABC该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两 条线段的乘积 ”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：guoshishuxue郭氏数学4例 13 如图，0 为 RtABC 的内切圆，切点 D 分斜边 AB 为两段，其中 AD10，BD3，求 AC 和 BC 的长例 14 如图，ABC 中A 与B 互余，且它们的角平分线相交于点 0，又 OEAC，OFBC，垂足分别为 E、F，AC=10，BC13求 AEBF 的值五、点击圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容： 解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素

7、与圆锥各元素之间的关系：圆 锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长 例 15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的 3 倍，则它的侧面 展开图的圆心角是( )A180 B90 C120 D135例 16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2:1 C：1 D：123例 17 如图，小红要制作一个高 4 cm，底面直径是 6 cm 的圆锥形小漏斗， 若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )A15cm2 B6cm2 C12cm2 D30 cm21313例 18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围

8、成这个灯罩的铁皮的面guoshishuxue郭氏数学5积为_cm2 （不考虑接缝等因素，计算结果用 表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇 形的面积 例 19 如图，有一块四边形形状的铁皮 ABCD，BC= CD,AB= 2AD,ABCADB= 90 (1)求C 的度数； (2)以 C 为圆心，CB 为半径作圆弧 BD 得一扇形 CBD，剪下该扇形并 用它围成一圆锥的侧面，若已知 BCa，求该圆锥的底面半径； (3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由六、例谈三角形内切圆问题 三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三

9、条角平分线的交点，它 到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角应用内心的性质，结合切线的性质、 切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明， 例 20 如图，ABC 中，内切圆I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F求证：(1)；AFDE2190(2)ABICo2190guoshishuxue郭氏数学6例 21 如果ABC 的三边长分别为 a、b、c，它的内切圆I 半径 为 r，那么ABC 的面积为( ).A Brcba)(rcba）（21C Drcba）（31rcba）（41七、阴影部分面积的求值技巧 求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解但在转

10、化过程中又有许多方法本文精选几个题，介绍几种常用方法 1直接法 当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角 的大小，然后直接代入公式进行计算例 22 如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=，以 BC 的中点 E 为3圆心的与 AD 相切于点 P，则图中阴影部分的面积为( ) A B C D324343 32和差法 当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和 或差来计算 例 23 如图，AB 和 AC 是0 的切线，B、C 为切点，BAC=60， 0 的半径为 1，则阴影部分的面积是( ) A B C D323 3333232

11、3割补法 把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积 例 24 如图，正方形 ABCD 的顶点 A 是正方形 EFGH 的中心， EF=6 cm，则图中的阴影部分的面积为_ 4等积变形法 把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它 面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积 例 25 如图，C、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为 R，求阴影部分的面积5平移法 把图形做适当的平移，然后再计算面积 例 26 如图，CD 是半圆 0 的直径，半圆 0 的弦 AB 与半圆 O 相切，点 O 在 CD 上，且 ABCD，AB4，则阴影部分的面积是（结果保留 ） guoshishuxue郭氏数

12、学76整体法 例 27 如图，正方形的边长为 a，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中 阴影部分的面积是( ) A B22 41 21aa)41(222aaC D22.21aa22 21aa7折叠法 例 28 如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 0，其直径 CD，EF 均和 x 轴垂直，以 0 为顶点的两条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F，则图中阴影部分的面积是_8聚零为整法 例 29 如图所示，将半径为 2 cm 的0 分割成十个区域，其中弦 AB、CD 关于点 0 对 称，EF、GH 关于点 0 对称，连结 PM，则图中阴影部分的面积是_（结果用 表示） 八、圆

13、中辅助线大集合 圆是初中重点内容，是中考必考内容关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求 解现对圆中辅助线的作法归纳总结如下： 1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形 例 30 如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的O 交于点 G、B、F、E，GB=8 cm，AG1 cm，DE2 cm，则 EF_cm 2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角 例 31 如图，在ABC 中，C=90，以 BC 上一点 0 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M，交 BC 于点 N (1)求证：BNBCBMAB (2)如果 CM 是0 的切线，N 为 OC 的中点，当 AC3 时，求 AB 的值3、

14、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等 角关系guoshishuxue郭氏数学8例 32 如图，AB、AC 分别是0 的直径和弦，点 D 为劣弧 AC 上一点，弦 ED 分别交 0 于点 E，交 AB 于点 H，交 AC 于点 F，过点 C 的切线交 ED 的延长线于 P (1)若 PCPF，求证：ABED(2)点 D 在劣弧的什么位置时，才能使 AD2DEDF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理 例 33 如图，02与半圆 Ol内切于点 C，与半圆的直径 AB 切于 D，若 AB=6，02的 半径为 1，则ABC

15、的度数为_C、数学思想方法与中考能力要求 数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵 魂因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提 高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学 思想在解题中的应用 一、数形结合思想 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和 形象思维相结合通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形 象性，使问题化难为易，化抽象为具体 例 1 MN 是半圆直径，点 A 是的一个三等分点，点 B 是的中点，P 是直径 MN 上 的一动点，0 的半径是 1，求 AP+BP 的最小值 二、转化思想 转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之 转化，进而得到解决的一种方程，转