二次函数竞赛题

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1、第 1 页 共 8 页二次函数竞赛题1二次函数的图象的顶点为 D，与 x 轴正方向从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴正方向cbxxy2交于 C 点，若ABD 和OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点） ，则 cb22在直角坐标系中有三点 A（0，1） ，B（1，3） ，C（2，6） ；已知直线上横坐标为 0、1、2 的点分baxy别为 D、E、F.试求的值使得 AD2+BE2+CF2达到最小值.ba,3.（2004 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数 x、y、z 满足 x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则 z 的最大值是_4.已知直线与抛物线相交于 A、B 两点，

2、O 为坐标原点，那么OAB 的面积等于32 xy2xy _。5.（2003 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数 y=ax2+bx+c（其中 a 是正整数）的图象经过点 A（-1，4）与点 B（2，1） ，并且与 x轴有两个不同的交点，则 b+c 的最大值为_6.设抛物线的图象与 x 轴只有一个交点， （1）求 a 的值；（2）求的452122axaxy618323aa值.7. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数 y随时间

3、 x（分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当时，图象是抛物100 x线的一部分，当和时，图象是线段.2010 x4020 x（1）当时，求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式；100 x（2）一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于 36.第 2 页 共 8 页8课题研究：现有边长为 120 厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大为此，他们对水槽的横

4、截面进行了如下探索：（1）方案：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图 a） 若ACB=90，设 AC=x 厘米，该水槽的横截面面积为 y 厘米2，请你写出 y 关于 x 的函数关系式（不必写出 x 的取值范围） ，并求出当 x 取何值时，y 的值最大，最大值又是多少？方案：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图 b） 若ABC=120，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案中的 y 的最大值比较大小（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程） 9如图，抛物线与双曲线相交于点 A，B. 已知点

5、A 的坐标为（1，4） ，点 B 在第2(0)yaxbx akyx三象限内，且AOB 的面积为 3（O 为坐标原点）.（1）求实数 a，b，k 的值；（2）过抛物线上点 A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C，求所有满足EOCAOB 的点 E 的坐标.10.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.2230ymxmxm mxAB、yC（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示） ，两点的坐标；MmAB、（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；BCMABC（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明BCM理由.第 3 页 共 8 页11已知抛物线与动直

6、线有公共点，且.2yxcxty) 12(),(11yx),(22yx3222 22 1ttxx（1）求实数 t 的取值范围；（2）当 t 为何值时，c 取到最小值，并求出 c 的最小值.12.已知，且，求的最小值.0a0b0cacbacb242acb4213. 在自变量 x 的取值范围 59x60 内，二次函数的函数值中整数的个数是( )21 2yxxA.59 B.120 C.118 D.6014. 在直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于 A，B 的两点.若 A，B 两点到原点的距223(0)4yxmxm m离分别为 OA，OB，且满足，则 m=_ _.112 3OBOA15. RtABC 的三

7、个顶点 A，B，C 均在抛物线上，并且斜边 AB 平行于 x 轴若斜边上的高为 h，则2xy （ ）（A）h216. 设 0k1，关于 x 的一次函数，当 1x2 时的最大值是（ ）)1 (1xkkxy（A）k （B） （C） （D）kk12 k1 kk117. 平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点1212 xxy的个数是 （ ）（A）2 个 （B）4 个 （C）6 个 （D）8 个18. 函数的最小值是 1422xxy19.对，二次函数的最小值为（ ）220baab ，)(bxaxy第 4 页 共 8 页图 6-2 y x 0 1 A. B. C.

8、 D. 2)2(ba 2)2(ba 2)2(ba 2)2(ba 20.两抛物线和与 x 轴交于同一点（非原点） ，且 a、b、c 为正数，222baxxy222bcxxyac，则以 a、b、c 为边的三角形一定是（ ）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形21.当 n=1，2，3，2003，2004 时，二次函数的图象与 x 轴所截得的线1) 12()(22xnxnny段长度之和为（ ）A. B. C. D. 20032002 20042003 20052004 2006200522.已知二次函数图象如图 6-2 所示，则下列式子： ab，ac，a+b+c

9、，cbxaxy2a-b+c，2a+b，2a-b 中，其值为正的式子共有 个.23.如果当 m 取不等于 0 和 1 的任意实数时，抛物线在平面直角坐标系上都过两mmxmxmmy3212个定点，那么这两个定点间的距离为24.已知抛物线与 x 轴两个交点 A、B 不全在原点的左侧，抛物线顶点为 C，要使ABC1) 1(2xkxy恰为等边三角形，那么 k 的值为25.设 x 为实数，则函数的最小值是 12156322 xxxxy26.设二次函数 的图象经过点（2，-1） ， 且与 x 轴交于不同的两点 A（x1，0） B（x2，0） ，qpxxy2M 为二次函数图象的顶点，求使AMB 面积最小时的二

10、次函数的解析式.27.已知：3x2+2y2=6x, x 和 y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.28.中,B=，AC=1，求 BA+BC 的最大值及这时三角形的形状.ABC60第 5 页 共 8 页FEGABCDAtsONMHGFEDCBADtsOBtsOCtsO29.如图，点、在直线上，点、在直线上，若，从如图所示 的GDCaEFABbabRt GEF位置出发，沿直线向右匀速运动，直到与重合运动过程中与矩形重合部分的面积bEGBCGEFABCD随时间变化的图象大致是（ ） S t30.（南京）如图，、分别是边长为的正方形的边上的点，,直线 EF4ABCDBCCD，413CECF，E

11、F交的延长线于，过线段上的一个动点作，垂足分别为，设，ABGFGHHMAGHNADMN，HMx矩形的面积为AMHNy 求与之间的函数关系式；yx 当为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？xAMHN31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果

12、，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.第 6 页 共 8 页-2-1 O1x2价 价 价 价 kg价价 价 价 价 价 价 价O602045764080价 价 价 价 价 价价 价 价 价 价 价 kg价O32函数的最小值为 m，则当 m 达到最大时，x_623) 12(222kkxkxy（2004 年全国初中数学联赛）33设 a，b 为实常数，k 取任意实数时，函数的图像与 x)3()(2) 1(2222bakkxkaxkky轴交于点 A（1，0） （1）求 a，b 的值（2）若函数与 x 轴的另一个交点为 B，当 k 变化时，求 AB 的最大值3

13、4.（2007 年福州）如图所示，二次函数（a0）的图象经过点（1，2） ，且与 x 轴交点的2yaxbxc横坐标分别为、，其中21，01，下列结论：1x2x1x2x；a1；.其中正确的有：（ ）420abc20ab284baacA、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个35.（2007 年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6 米，宽度 OM 为 12 米，现在O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如图所示） （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使

14、 A、D 点在抛物线上，B、C 点在地面 OM上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB、AD、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下第 7 页 共 8 页36.（2009 年天津市）已知函数为方程的两个根，点在2 12yxyxbxc，120yy1MT，函数的图象上2y（）若，求函数的解析式；11 32，2y（）在（）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求 的值；1y2yAB，ABM1 12t（）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由0101t T，37. 已知点 A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线 yx2上位于三角形 ABC 内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交 AC 于 E， CP 所在的直线交 AB 于 F。将表示为自变量 t 的函数。BF CE38在直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于 A，B 两点，bkxy0k （）xy且使得OAB 的面积值等于3OAOB（1）用 b 表示 k；（2）求OAB 面积的最小值 39已知点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （2，0） 若二次函数233yxax的图象与线段 AB 恰有一个交点，则a的取值范围是 40已知点 M，N 的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，点 P 是