二次函数与平行四边形存在性问题

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1、Comment x1: 考点：二次函数综合题；待定系数法 求二次函数解析式。 点评：本题主要考查了二次函数的综 合，考查了待定系数法求二次函数的 解析式解题时，借用了二次函数图 象上点的坐标特征这一知识点2012 个性化辅导教案1老师老师 姓名姓名学生姓名学生姓名学管师学管师 学科学科 名称名称年级年级上课时间上课时间 月月 日日 _ _ :00- _ :00课题课题 名称名称二次函数与平行四边形的存在问题二次函数与平行四边形的存在问题教学教学 重点重点教教 学学 过过 程程【知识梳理知识梳理】 1、平行四边形的性质是什么？ 2、在坐标系中，平行四边形又有哪些性质？3、解决问题的策略： 根据要

2、求画出满足要求的图形，然后根据几何性质计算未知量 分类讨论，根据对角线“共中点”的性质直接计算。1. （2011盘锦）如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过 A（1，1） 、B（4，0）两点 （1）求这个二次函数解析式； （2）点 M 为坐标平面内一点，若以点 O、A、B、M 为顶点的四边形是平行四边形，请直接 写出点 M 的坐标Comment x2: 难度不大 考点：二次函数综合题；待定系数法 求二次函数解析式。 专题：分类讨论。 点评：本题是二次函数的综合题，涉 及到二次函数解析式的确定，分类讨 论的思想，此题不是很难，但是做题 时要考虑周全Comment x3: 考点：二次函数综合

3、题。 专题：综合题。 点评：本题考查了解二次函数的综合 题的方法：先通过二次函数的解析式 确定各特殊点的坐标，得到有关线段 的长，然后利用几何性质（如三角形 面积公式，平行四边形的性质）去确 定其他点的坐标2012 个性化辅导教案172. （2010陕西）在平面直角坐标系中，抛物线 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，1）三点 （1）求该抛物线的表达式； （2）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求 所有满足条件点 P 的坐标3. （2011阜新）如图，抛物线 y= x2+x 与 x 轴相交于 A、B 两点，顶点为 P（1）求点 A、

4、B 的坐标； （2）在抛物线是否存在点 E，使ABP 的面积等于ABE 的面积，若存在，求出符合条件的 点 E 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点 F，使得以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形，直接写 出所有符合条件的点 F 的坐标Comment x4: 难度不大 点评：此题考查了用待定系数法求函数解 析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图 形有利于解答； （3）是一道存在性问题，有一定的开放性， 需要先假设点 P 存在，然后进行验证计 算2012 个性化辅导教案14. （2007玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 C（1，0） ，直线 y=xm 与该二

5、次函数的 图象交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（3，4） ，点 B 在 y 轴上。 （1） 求 m 的值及这个二次函数的关系式； （2） P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合） ，过 P 点作 x 轴的垂线交二次函数图 象于点 E，设线段 PE 的长为 h，点 P 的横坐标为 x，求 h 与 x 之间的函数关系式，并写 出自变量 x 的取值范围； （3） D 为直线 AB 与二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边 形 DCEP 是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。Comment x5: 难度不大 变式：将“过

6、点 M 作 x 轴的垂线与 抛物线交于点 P”改成“过点 M 作 x 轴的垂线于点 P” 。 考点：二次函数综合题；解二元一次 方程组；待定系数法求二次函数解析 式；勾股定理；平行四边形的性质。 专题：计算题。 点评：本题主要考查对一次函数的性 质，用待定系数法求二次函数的解析 式，解二元一次方程组，平行四边形 的性质，勾股定理等知识点的理解和 掌握，能用待定系数法求二次函数的 解析式和得到 MD=ND=|2m|是解此题 的关键2012 个性化辅导教案15. （2011淄博）抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，2） ，与直线 y=x 交于点 A（2，2） ，B（2，2） （

7、1）求抛物线的解析式； （2）如图，线段 MN 在线段 AB 上移动（点 M 与点 A 不重合，点 N 与点 B 不重合） ，且 MN=，若 M 点的横坐标为 m，过点 M 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 P，过点 N 作 x 轴的 垂线与抛物线交于点 Q以点 P，M，Q，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求 出 m 的值；若不能，请说明理由Comment x6: 考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 点评：此题主要考查了二次函数的综 合应用，二次函数的综合应用是初中 阶段的重点题型，特别注意利用数形 结合是这部分考查的重点，也是难点， 同学们应重点掌握2012 个性化辅导教案16

8、. （2011内江）如图抛物线 y= x2mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C（01） 且对称抽 x=l （1）求出抛物线的解析式及 A、B 两点的坐标； （2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 D，使四边形 ABDC 的面积为 3若存在，求出点 D 的 坐标；若不存在说明理由（使用图 1） ； （3）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求 出所有满足条件的点 P 的坐标（使用图 2） Comment x7: 考点：二次函数综合题。 点评：此题主要考查了二次函数的综 合应用，二次函数的综合应用是初中 阶段的重点题

9、型，特别注意利用数形 结合是这部分考查的重点，也是难点， 同学们应重点掌握2012 个性化辅导教案17. （2011凉山州）如图，抛物线与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，且 x1x2，与 y 轴 交于点 C（0，4） ，其中 x1，x2是方程 x24x12=0 的两个根 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是线段 AB 上的一个动点，过点 M 作 MNBC，交 AC 于点 N，连接 CM，当CMN 的面积最大时，求点 M 的坐标； （3）点 D（4，k）在（1）中抛物线上，点 E 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 F，使以 A、D、E、F 为顶点的四边形是平行四

10、边形，如果存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标，若不 存在，请说明理由Comment x8: 考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。 点评：本题考查了二次函数的综合运 用，求得判别式总大于等于 3，而证 得；求得点 A，代入抛物线解析式得 m，由直线 AD 的斜率与直线 PC 的 斜率相等，而解得；平移后得到的情 况，得到 M，N 的坐标而解得2012 个性化辅导教案18. （2011衡阳）已知抛物线（1）试说明：无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 （2）如图，当抛物线的对称轴为直线 x=3 时，抛物线的顶点为点 C，直线 y=x1 与抛物线交于 A、B 两点，

11、并与它的对称轴交于点 D 抛物线上是否存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形？若存在，求出点 P 的 坐标；若不存在，说明理由； 平移直线 CD，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N，通过怎样的平移能使得以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形Comment x9: 考点：二次函数综合题；待定系数法 求二次函数解析式；线段垂直平分线 的性质；等腰三角形的判定；平行四 边形的性质。 专题：计算题；证明题。 点评：解此题的关键是检查对求抛物 线的解析式的掌握（即已知抛物线上 点的坐标求解析式） ，能利用点的坐 标特点解决几何问题（判断三角形的 形状） 突破点是利用平行四边形的 性质

12、求出 P、F 的坐标，并进行分类 讨论进一步求出答案2012 个性化辅导教案19. （2010龙岩）如图，抛物线交 x 轴于点 A（2，0） ，点 B（4，0） ，交 y 轴于点 C（0，4） （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）若直线 y=x 交抛物线于 M，N 两点，交抛物线的对称轴于点 E，连接 BC，EB，EC试 判断EBC 的形状，并加以证明； （3）设 P 为直线 MN 上的动点，过 P 作 PFED 交直线 MN 下方的抛物线于点 F问：在直线 MN 上是否存在点 P，使得以 P、E、D、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 及相应的点 F 的

13、坐标；若不存在，请说明理由Comment x10: 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 点评：此题主要考查了二次函数解析 式的确定、图形面积的求法、二次函 数最值的应用以及平行四边形的判定 和性质；此题的难点在于（3）题， 需要熟练掌握平行四边形的性质，并 且要考虑到各种情况才能做到不漏 解2012 个性化辅导教案110. （2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（0，4） ， C（2，0）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S、求 S 关 于 m 的函数关系式，并求出 S 的最

14、大值 （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标Comment x11: 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题；开放型；分类讨论。 点评：本题主要考查了待定系数法求 函数的解析式，以及平行四边形的判 定方法，是一个存在性问题，在中考 中经常出现2012 个性化辅导教案111. （2010包头）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点 A（1，0） ，B（2，0） ， C（0，2） ，直线 x=m（m2）与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的解析式； （2）

15、在直线 x=m（m2）上有一点 E（点 E 在第四象限） ，使得 E、D、B 为顶点的三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示） ； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存 在，请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由Comment x12: 难度适中 考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。 点评：此题主要考查了正方形的性质、 二次函数解析式的确定、图形面积的 求法、二次函数的最值、平行四边形 的判定和性质等，同时还考查了分类 讨论的数学思想，难度适中2012 个性

16、化辅导教案112. （2010茂名）如图，在直角坐标系 xOy 中，正方形 OCBA 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴上，点 B 坐标为（6，6） ，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，B 两点，且 3ab=1 （1）求 a，b，c 的值； （2）如果动点 E，F 同时分别从点 A，点 B 出发，分别沿 AB，BC 运动，速度都是每秒 1 个 单位长度，当点 E 到达终点 B 时，点 E，F 随之停止运动，设运动时间为 t 秒，EBF 的面积为 S 试求出 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； 当 S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 E，B，R，F 为顶点的四边形是平行四 边形？如果存在，求出点 R 的坐标；