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1、成都市教科院,近年高考数学新颖试题 赏析及启示,第一部分：新颖试题赏析 第二部分：复习教学启示 第三部分：几点思考建议,近年高考数学新颖试题 赏析及启示,第一部分：新颖试题赏析,第一部分：新颖试题赏析,近年来的高考数学试卷中涌现出了一大批新颖试题，它们内涵丰富，立意新颖，背景鲜活，设问独特，闪耀着命题者智慧的光芒，给人以赏心悦目，回味无穷的感受它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力、数学创新意识等有良好的作用 仔细研究这些试题，可以使我们明晰高考数学命题的动向和趋势，提高高三数学复习迎考的针对性和有效性,一、鲜明的立意 二、新颖的情境 三、深刻的背景 四、开放的设
2、计 五、知识的交汇,第一部分：新颖试题赏析,一、鲜明的立意,立意是试题的考查目的高考命题一般以立意为中心，以能力立意命题，就是首先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式 高考数学把具有创新特色的新颖试题根据以能力立意命题的指导思想，把具有发展能力价值，富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点，从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查,高考数学试题重视“双基”的考查这有利于高等学校选拔基础扎实的考生，有利于引领中学数学的素质教育对“双基”的考查侧重于基础知识、基本思想方法的理解和应用，而不是简单的重现，特别注重知识应用的综
3、合性、交汇性、灵活性和创新性，这类试题的知识源于教材，思维能力高于教材,1考查基础知识的灵活应用,一、鲜明的立意,当联想到“算术平均数与几何平均数”时，不难知道，“和为定值的几个正数，当它们相等时其乘积最大”由此我们不难感悟和猜想：对周长一定的三角形，边长越接近时面积越大从而以2+5，3+4，6作为三角形的三边得到的三角形面积最大，计算这个等腰三角形的面积可知选,B,这是一道加了包装的均值不等式试题,B,该题对思维能力进行了全面考查，既考查了观察、联想、猜想，估算等直觉思维能力，又考查了构成三角形的充要条件、面积公式的选择与应用等逻辑思维能力考生通过对5根细棒的各种摆放和拼接的操作，实现了对实
4、践能力考查的目标.本题提高了对分析问题和解决问题的能力要求，大大增加了思考量，由于面积最大的是等腰三角形，从而计算量得到了较好的控制.,1考查基础知识的灵活应用,简单讲，高考是三考：考基础知识，考思想方法，考能力素质数学思想方法在探寻解题思路、优化解题方法、加深问题理解、洞察问题本质等方面有广泛的应用因此，高考对数学思想方法的考查力度是很大的，在教学中应引起足够的重视数学思想方法应在概念的形成、命题的发现、问题的探究、解题的分析等教学活动中着意渗透、自然揭示、灵活运用和总结提炼,2考查基本的数学思想方法,本题构思精巧，内容丰富，有较为深刻的内涵它以直线和圆为载体，以圆内接四边形面积的最大值为切
5、入点，涉及四边形的面积、圆的几何性质、三角变换与三角最值等知识，因此也具有在知识交汇处命题这一特点,本题的解法较多，不同程度的同学可以根据自己的实际情况，灵活选择问题的解决方法：而思维量的多少、方法的繁简、计算量的大小等方面的因素又引发解题所需时间的差异、结果的正确与否(例如，先设出AC,BD 的斜率与方程，求出弦长后表示出四边形ABCD 的面积，再求该面积函数的最值这样的思路就显得比较繁琐)因此，它具有相当好的区分度，真正起到了小题把关题的作用，是一道可圈可点的好题,解二：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12 +d22OM23.,3考查以数学思维能力为重点的五大能力,考试大纲
6、(理科)的数学科指出，数学科考试着重考查五大能力：思维能力，运算能力，空间想象能力，实践能力和创新意识在五大能力中以思维能力为考查重点高考数学创新型试题没有固定的模式，难有现成的方法和套路，思维水平要求高，思维容量大，运算量较小，能有效考查考生的思维水平和创造意识，分析和解答这样的试题需要有较高的能力与素质，依靠“死记硬背”、“题海战术”和“强化训练”往往难以奏效,本题粗略一看，已知条件简洁明了，但题目的背景比较新颖，给人一种无从下手的感觉.这就需要我们实际操作和巧妙设计，要求考生要具有灵活的思维和应变能力，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策. 说到底也就是一个平几或三角题.,本
7、题是把关题，看似平淡无奇，但却有效考查了考生的数学视野、开阔的思维、解题和智慧，在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力占全了是一道精彩的新颖试题！所以我们平时就要扎扎扎实实以熟练主干知识为龙头，注重对通性通法的训练和数学思想（方法）的强化，进一步提高解决问题的能力.,4考查应用意识和探究意识,“坚持数学应用，考查应用意识”是近年来高考命题者坚持的一个命题方向，试卷突出新增加的如概率，导数等知识的应用性，反映出中学课程新增加的数学内容在解决实际问题中的重要作用.研究型、探索型、开放型试题是创新型试题的基本题型，有利于测试考生的能力与素质，有利于考查考生的探究精神,本题考
8、查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A.,本题考查了阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以简单运用的能力，既考查了应用意识，又考查了探究精神.要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.（多想少算甚至不算）,4考查应用意识和探究意识,因此，“开放探索,考查探究
9、精神，开拓展现创新意识的空间”在近年的高考试题中常有体现，用知识归类、套路总结，强化训练等传统教学方法难以解决高考中不断出现的新颖试题. 应对创新型试题的最好办法是让学生进行研究性学习，要让学生在新课学习和复习课中经历数学探究的过程，这个过程应该包括学生自己主动地观察数学现象、分析数学材料，提出数学问题、探究数学规律，猜想数学命题、寻找解题思路等.,二、新颖的情境,情境是实现立意的材料和介质情境与问题相伴，问题是情境的焦点，情境因问题而存在问题既是考查的内容也是考查的手段情境的新颖性是高考数学创新型试题的一个共同的特点情境新颖的试题，对广大考生来讲是全新的、公平的，靠“解题套路”、“猜题押宝”
10、、“密卷”，“宝典”和“题海战术”是难以凑效的,二、新颖的情境,在高考中，考生对付情境新颖的试题，一般需要具有自主学习的能力，学习能力是指学生阅读并理解数学新知识的能力，这里的新知识可以是新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等学习能力还包括会搜集、提炼、加工信息，对阅读的内容进行概括和理解，看清问题的本质，然后运用新的知识通过分析、演算，归纳、猜想，类比或论证等方法解决一些新的数学问题,1.定义新概念 2.规定新运算 3.设定新规则 4.定义新性质,二、新颖的情境,定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.
11、这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能.,1定义新概念,二、新颖的情境,本题考查了学生抽象概括能力，同时也考查了学生对新事物接受能力和探究精神.要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步推理，和运算是一个难度较大的把关题,2.规定新运算,3.设定新规则,解:(1)k=5 (2)211=20+21+24+26+27，故kn取值0、1、4、6、7. 故所求集合为,4.定义新性质,三、深刻的背景,高等数学的一些基本思想，基本概念、基本方法为设计创新型试题提供了深刻的背景，这是因为高等数学的基本思想和
12、方法是考查学生进一步学习潜能的良好素材，另外需要注意到，命题者大多数是大学教师，他们在命题时会受到自身学术兴趣和研究背景的影响高考创新型试题一般都有比较深刻的高等数学背景，这类题目形式新颖，在课本例习题、复习资料和模拟试题中难以找到 解答这类题目没有现成方法可借鉴，会使一些考生感到难以人手，从而使该类题目有很好的区分度，这类试题有利于检测考生进入高等学校进一步学习的潜能，因此，命题教师都十分青睐含有高等数学背景的试题,1高等数学背景,本题以高等代数中向量空间的线性变换为背景，在映射与平面向量的交汇点设计试题，从而将映射的概念与平面向量的相关知识有机地融合在一起这种交汇比较稀罕，可谓出奇制胜，让
13、人印象深刻本题考查面较广，思维容量较大，除涉及对新概念的理解、映射与平面向量知识的灵活运用外，还涉及赋值法、代入法、特殊值法、反证法等基本的数学方法,破解以高等数学为背景的试题，关键在阅读理解，抓住问题本质，将已掌握的知识迁移到新情景中去，将问题解决.需要指出的是，不宜提倡将高等数学的一些定理和背景知识作为教学的补充内容，因为这样做既会加重学生学习的负担，也与高考考查创新型试题的初衷相悖,三、深刻的背景,最近几年，一些创新型试题的基本走向是坚持新课程改革的方向，充分体现2003年4月教育部颁布的普通高中数学课程标准(实验)9(以下简称(标准)的精神，出现了不少以新课程改革为背景的新题好题,2新
14、课程改革背景,2008年以来的非课改省份的一些试题也能看到课改的影子如2008年全国卷I理科的第10题涉及选修45不等式选讲”中的柯西不等式的背景，全国卷理科的第16题涉及选修1-2“推理与证明”中的类比推理；湖南卷理科的第10题涉及“新定义”的自主学习与主动探究，江西卷理科的第16题也涉及主动探究：陕西卷理科的第12题涉及到选修32的信息安全与密码，等等 这些试题的背景新颖、视角独特，体现了新课程理念，当然，课改实验区的试卷如广东卷、海南(宁夏)卷、江苏卷等更加充分地体现了新课程改革的精神，值得研究我省今年的高一也进入了课改，因此，高中数学教师应认真学习、研究标准，积极参与数学课程改革,2新
15、课程改革背景,三、深刻的背景,应用题是对考生综合实力的考查，是考查能力与素质的良好题型，近几年应用题的编拟更加重视语言简洁、准确，背景清新、近人，模型具体、简明，方法熟悉、简便，所涉及的都是数学基本内容，思想和方法，摒弃繁琐的数学运算，突出了对数学思想，方法和实践能力的考查.,3联系实际生活背景,解：因为各酒杯杯口半径相等，即上底面积相等内空高度相等，且饮去上部一半，故下部越细，剩余酒高度越高，故应有h2hlh4 应选A.,旋转体在现行的教材中己被删掉，而命题者却大胆将四种旋转体集在一起，与日常生活中的酒杯形状联系起来，巧妙设问，考查学生的空间想象和直觉（逻辑）思维能力主要考查几何体的体积，掌
16、握几何体的体积与高度的关系，及体积的变化引起高度的变化；考查空间想象能力及逻辑推理能力,三、深刻的背景,4数学文化背景,本题主要考查了勾股定理、解三角形，二倍角公式、读图、识图、阅读理解能力和基本运算能力，其背景融合数学历史（文化），耐人寻味.易错点是不能正确理解题意.在解答信息型的新型题时，要透彻理解问题中的新信息.题目本身不难，属于中低档题.本题既考了知识，又教给了我们新知识，从而提高同学们的数学素养，增加同学们的爱国心.题中所蕴涵的精神食粮颇多.是一道素质教育的好题,四、开放的设计,1条件开放型问题 条件开放型问题，即没有确定的已经条件，其特征是缺少确定的条件，即求解问题所需的条件过多或不足，学生无法直接根据给出的条件来解决问题.设计条件开放型问题的目的是加强对学生信息整合力的考查.信息整合国是个体立足于社会的最基本能力之一，现实世界纷繁复杂，信息浩如烟海且更新速度很快，而获取信息的渠道多种多样，如果没有很强的整合力，个体就会被繁杂的信息所掩埋.,
