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1、概率论与数理统计公式 1 第一章 随机事件及其概率第一章 随机事件及其概率 随机事件A，样本空间，概率空间F，AA，F 一、随机事件间的关系和运算一、随机事件间的关系和运算 1、 包含：AB，表示 A 发生必有事件 B 发生 2、 相等： 若 AB 且 BA，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。 3、 互不相容（或互斥） ：A B=，表示 A 与 B 不可能同时发生。对立一定互斥。 4、 对立（或互逆）: A=-A。 表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 5、和事件/并：A B，或者 A+B（A B=） ，表示 A、B 中至少有一个发生的事件。 6、 差事件： ABAABAB=,表示
2、 A 发生而 B 不发生的事件。 7、 积事件/交：A B 或者 AB，表示 A、B 同时发生的事件。 二、运算定律二、运算定律 1、交换律：AB=BA；AB =BA。 2、 结合律：A（BC）=（AB）C；A（BC）=（AB C 3、分配律：A（BC）=（A B）（A C） ； ()()()ABCABAC=。 4、德摩根律（对偶率） ：BA=AB；BA=AB； 。 ? 常用结论： AA=； AA=； ()()ABABABABBAAB=+=+=+=+ 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 一、一维随机变量及其分布一、一维随机变量及其分布 1、分布函数、分布函数:( )F xP Xx=
3、 分布函数性质分布函数性质: (1) 0( )1,;F xxR(2)( )F x 是单调不减的；(3)()lim( )0; x FF x =()lim( )1; x FF x + + = 概率论与数理统计公式 2 (4)( )F x 为右连续，即 0 00 lim( )(),. xx F xF xxR + = 分布函数重要公式分布函数重要公式: (1)( );P XbF b=(2)( )( );P aXbF bF a= (4)();P XbF b= ? 性质：2. dc P cXd ba = ; 1,0, ( ) 0, 0. x ex F x x = 二、 二维随机变量及分布：二、 二维随机变
4、量及分布： 1、联合分布函数：、联合分布函数：( , )F x y,P Xx Yy= 2、二维离散型随机变量的分布：、二维离散型随机变量的分布：, ijij P Xx Yyp=( , ) , ij ij xxyy F x yp = 3、二维连续型随机变量的分布：、二维连续型随机变量的分布：( , )( , )d d xy F x yp u vu v = ? 联合密度函数性质： (1)( , )0;p x y (2)( , ) d d(,)1;p x yxyF + =+ + = 2 ( , ) (3)( , )( , ),( , ); F x y p x yx yp x y x y = 若在连续
5、 则有(4) (, )( , ) d d . G PX YGp x yxy= ? 典型二维随机变量的分布： (1) 均匀分布： 1 ,( , ), ( , ) 0,. x yD p x yS = 其它 (2) 二维正态分布 22 1212 (, ) (, )X YN ： 22 1122 222 1 2 12 ()2 ()()()1 2(1) 2 12 1 ( , ) 21 x x y y p x ye + = (,),xy = ，则 E(X)= 1 ， D(X)= 2 1 (9) 伽玛分布伽玛分布( ,) ：密度函数( ) 1 0,0 e,0 ( ) x x p x xx = ， + 1 0
6、( )= (0) x xe dx 其中：, 1 ( )= 2 ； E(X)=; D(X)= 2 ; (1,)( )Exp= (10) 卡方分布卡方分布 2( ) n：密度函数 1 22 2 1 0 ( )2( ) 2 0 nx n xex n p x = 其它 ， 2 1 ( ), 2 2 n n = 22 (),()2 nn EnDn=； 2 1 (,)=( ) 2 2 n n (11) () () 0, XE X E D X = () () 1 XE X D D X = 第四章第四章 极限定理极限定理 一、四种收敛性：一、四种收敛性： 1、 依分布收敛：lim( )( ) L nn n F
7、 xF xYY = 2、 依概率收敛:lim |0 P nn n P YYYY = 3、 r阶收敛：lim|0 rr nn n E YYYY = ，均方收敛2r=则平均收敛1r= 4、 几乎处处收敛： . lim1 a e nn n PYYYY = 二、大数定律：二、大数定律： 11 11 lim1, nn P inin n ii PXaXa nn = 则对任意的恒有 11 11 lim1 nn ii n ii PXEX nn = 则对任意的有lim1 n n Pp n 试验中事件 出现的次数 则对任意的 P 11 11 lim1, nn nn kk n kk Ppp nnnn = 则对于任意
8、的都有 P 11 11 lim1 nn ii n ii PXX nn = = 其它 ， + 1 0 ( )= (0) x xe dx 其中： 2 1 (,)=( ) 2 2 n n ； 22 (),()2 nn EnDn=； 2 ( ,2 ) n AN nn 2、T分布分布 ( )t n 2 (0,1),( ),( ) / X XNYnX YTt n Y n =且独立 则， 密度函数 1 2 2 1 2 ( )1, 2 n n x p xx nn n + + =+ (0,1)TAN 3、F分布分布 12 (,)F n n 22 12 ( )(),XnYnX Y设，且相互独立， 1 12 2 /
9、 ( ,) / Xn FF n n Y n =则。 密度函数: 12 1 1 12 2 2 1 11 2 12 22 2 1,0 ( ) 22 0, nn n n nn nn xxx nnp xnn + + + = 其它 2 2 2 ( ),(2), 2 n E Fn n = 2 212 2 2 122 2(2) ( ),(4) (2) (4) n nn D Fn n nn + = F分布的性质分布的性质: 1221 1 ( ,),(,).FF n nF nn F 若则 2 ( ),(1, )Tt nTFn若则 概率论与数理统计公式 13 四、上侧分位数四、上侧分位数:P Xx= 1、(0,1
10、)Nu标准正态分布的上侧分位数： ()1u= ; 1 .uu = 0.0250.05 1.96,1.645.uu=常用： 2、tt分布的上侧分位数 ： 1 ( )( ).tntn = 45,( ).ntnu 当时 3、 22 ( )( )nn 分布的上侧分位数: 2 60( )2.nnnnu +当时， 4、F分布的上侧分位数 12 ( ,)F n n ：1 12 21 1 ( ,). (,) Fn n F nn = 五、抽样分布五、抽样分布 1、设随机变量列 12 , n XXX?相互独立，且 2 (,) (1,2, ), iii XNin=?则 22 111 (,). nnn iiiiii
11、iii C XNCC = 2、 (样本来自单正态总体) 2 ( ,),XN 若总体则 (1) 2 1 1 ( ,/ ), n i i XXNn n = = (2) 2*2 22 (1) nn nSnS = 2 2 1 1 () n i i XX = = 2 (1)n 则 22 1 (); n n E S n = 22 2 2(1) (); n n D S n = 2 *2 (); n E S= 2 4 * 2 () 1 n D S n = 2 (3). n XS与独立 (4) * /1 nn XX T SnSn = (1).t n 3、(样本来自两个正态总体) 22 1122 (,),(,),
12、若XNY N XY与 相互独立，则 22 12 12 12 (1)(,)XYN nn + 222 12 (2)=当时， 12 12 12 ()() (2), 11 w XY Tt nn S nn =+ + 概率论与数理统计公式 14 12 22 *2*2 2 112211 1212 ()() (1)(1) 22 nn ii ii w XXYY nSnS S nnnn = + + = + 其中 *22 11 12 *22 22 / (3)(1,1). / S FF nn S = 第六章第六章 参数估计参数估计 一、点估计： （矩估计、最大似然估计）一、点估计： （矩估计、最大似然估计） 1、矩估
13、计、矩估计 步骤：(1)计算总体m阶距；(2)令样本m阶矩=总体m阶矩的估计； (3)解方程得到矩估计量。 2、最大似然估计：、最大似然估计： 步骤：(1)求似然函数( )() 1 n i i Lp x = =； (2)求出 ( )ln L及似然方程 ( ) ln 0 i L = = (3)解似然方程得到最大似然估计值() 12 iim xxx=?， ， ，; (4)最后得到最大似然估计量 () 12 iim XXX=?， ， 二、估计量的评判标准： （无偏估计、最小方差无偏估计、有效估计、相合估计）二、估计量的评判标准： （无偏估计、最小方差无偏估计、有效估计、相合估计） 1、无偏估计：、无偏估计： ( );E= 渐近无偏估计： lim( ); n E + =偏差 ( );E 2、最小方差无偏估计：、最小方差无偏估计：方差最小的无偏估计，一般的若 ( );E= 1 ( ); ( ) D nI = 其中( ) ()() 2 2 2 ln;ln; 0 p xp x IEE = ，则为最小方差无偏估计 3、 有效估计：有效估计： ( ) ; ( )1 E e = = 渐进有效估计：渐进有效估计：
