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1、1三角形三角形“四心四心”的向量性质及其应用的向量性质及其应用 一、三角形的一、三角形的重心重心的向量表示及应用（中线交点）的向量表示及应用（中线交点）命题一命题一：已知：已知是不共线的三点，是不共线的三点，是是内一点，若内一点，若则则ABC，GABCGAGBGC 0 是是的重心的重心GABC命题二：点命题二：点是三角形是三角形的重心则的重心则OABCAOBBOCCOAS = S = S变式：变式：已知已知分别为分别为的边的边的中点则的中点则DEF，ABCBCACAB，ADBECF 0 变式引申：如图变式引申：如图 4 4，平行四边形，平行四边形的中心为的中心为，为该平面上任意一点，为该平面上
2、任意一点，ABCDOP则则1()4POPAPBPCPD 二、三角形的二、三角形的外心外心的向量表示及应用的向量表示及应用( (外接圆圆心，边中垂线交点外接圆圆心，边中垂线交点) )命题二：命题二：已知已知是是内一点，满足内一点，满足，则点，则点为为ABCABC 的外心。的外心。GABCMCMBMAM三、三角形的垂心的向量表示及应用：（高线交点）三、三角形的垂心的向量表示及应用：（高线交点）例例 1 1：已知：已知是是内一点，满足内一点，满足，则点，则点 G G 为垂心。为垂心。GABCGCGBGCGAGBGA变式：若变式：若 H H 为为ABCABC 所在平面内一点，且所在平面内一点，且222
3、222 ABHCCAHBBCHA则点则点 H H 是是ABCABC 的垂心的垂心 四、三角形的四、三角形的内心内心的向量表示及应用（内角平分线交点，内切圆圆心）的向量表示及应用（内角平分线交点，内切圆圆心）命题四：命题四：O 是内心是内心ABC 的充要条件是的充要条件是0) |CB|CB|CA|CA(OC) |BC|BC|BA|BA(OB) ACAC|AB|AB(OA 变式变式 1：如果记：如果记CA,BC,AB的单位向量为的单位向量为321e ,e ,e，则，则 O 是是ABC 内心的充要条件是内心的充要条件是0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131 变式变式 2：如果记：如果记C
4、A,BC,AB的单位向量为的单位向量为321e ,e ,e，则，则 O 是是ABC 内心的充要条件也内心的充要条件也可以是可以是0OCcOBbOAa 。例例 1 1（20032003 江苏）已知江苏）已知 O O 是平面上一定点，是平面上一定点，A A、B B、C C 是平面上不共线的三个点，满足是平面上不共线的三个点，满足2，则，则 P P 的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC 的的内心内心 。 )( ACACABABOAOP, 0例例 2 2、已知、已知 P P 是非等边是非等边ABCABC 外接圆上任意一点，问当外接圆上任意一点，问当 P P 位于何处时，位于何处时，PAPA2 2+
5、PB+PB2 2+PC+PC2 2取得最取得最 大值和最小值。大值和最小值。例例 3.3.已知已知 O O 是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,CA,B,C 是平面上不共线的三个点，动点是平面上不共线的三个点，动点 P P 满足满足,则动点则动点 P 的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC 的的(),(0,) coscosABACOPOA ABBACC （ D D ） A A . .外心外心 B.B.内心内心 C C 重心重心 D D 垂心垂心变形：（变形：（1 1） C(),(0,) sinsinABACOPOA ABBACC （2） Csinsin(),(0,)ABCACBOPOA
6、ABAC （3） A(),(0,) coscosABACPBPC ABBACC 例例 4： 点点 O 在在ABCABC 内部且满足内部且满足,则则ABCABC 面积与凹四边形面积与凹四边形 ABOCABOC 的的220OAOBOC 面积之比（面积之比（ C C ）A A 0 0 B B 3/23/2 C C 5/45/4 D D 4/34/3变形引申：变形引申：，求，求ABCABC 面积与凹四边形面积与凹四边形 ABOCABOC 的面积之比（的面积之比（ ）0OAmOBnOC 例 2（03 年江苏卷）O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足，则 P 的轨迹一定通
7、过ABC 的（ ）), 0(), |( ACACABABOAOPA外心B内心 C重心 D垂心（1） （05 年全国卷理）的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，ABC，则实数 m = ；)(OCOBOAmOH（2） （05 年全国卷 I 文）点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OBOA，则点 O 是的（）OAOCOCOBABC3A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点（3）(05 年湖南卷文)P 是ABC 所在平面上一点，若=，则 P 是ABC 的（ ）PBPAPCPBPAPC A外心 B内心 C重心 D垂心（06 陕西理） 已知非
8、零向量与满足(+)=0 且= , 则ABACAB|AB|AC|AC|BCAB|AB|AC|AC|1 2ABC 为 ( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形3 3以以“各种运算的几何意义各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段为代表的灵活运用阶段（05 浙江卷）已知向量浙江卷）已知向量，|1，对任意，对任意 tR，恒有，恒有|t|，则，则aee ae ae（C）(A) (B) () (C) () (D) ()()ae a aee ae ae ae例 3 （06 湖南理）如图 1, , 点在由射线、 线段及的延ABOM /POMOBAB长线围成的区域内(不含边界
9、)运动, 且,则的取值范围是 ；OByOAxOPx当时, 的取值范围是 . 21xy（2） （07 陕西理）如图 4，平面内有三个向量、，其中与的OAOBOCOA OB 夹角为，与的夹角为，且，若120OA OC301OAOB 2 3OC ，则的值为 ()OCOAOBR ，图 2FECDAOBPM图 1MPBOA4例 4 （07 全国）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，F24yxABC，若，则（ ）0FCFBFAFAFBFC A9B6C4D307 重庆理）如图 5，在四边形中，ABCD4ABBDDC ，则的值为（ 4DCBDBDAB0DCBDBDABACDCAB)(） 22 244 2（20
10、07 江西卷）江西卷）15如图，在如图，在中，点中，点是是的中点，过点的中点，过点ABCOBC的直线分别交直线的直线分别交直线，于不同的两点于不同的两点，若，若，OABACMN，ABmAM ，则，则的值为的值为ACnANmn2009 年高考中的向量选择题考查应用：1.（2009 广东卷 理）一质点受到平面上的三个力123,F F F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知1F，2F成060角，且1F，2F的大小分别为 2 和 4，则3F的大小为 A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7 【解析】28)60180cos(200 212 22 12 3FFFFF，所以723F，选 D.2.（2
11、009 浙江卷理）设向量a，b满足：| 3a，| 4b，0a b以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A3 B4 C5 D6答案：C 【解析】如果知道此三角形有一个半径为 1 的内切圆，本题立解BAONCM53.（2009 陕西卷文）在ABC中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足学2PAPM ,则科网()PAPBPC 等于（A）4 9（B）4 3（C）4 3 (D) 4 9 答案:A.解析:由2APPM 知, p为ABC的重心,根据向量的加法, 2PBPCPM 则()APPBPC =
12、2 142=2cos0213 39AP PMAP PM 故选 A4.（2009 全国卷理）设a、b、c是单位向量，且ab0，则 acbc的最小值为 ( D )（A）2 （B）22 （C）1 (D)12解: , ,a b c 是单位向量 2()acbca bab cc AA| | | 12cos,121 |abcab c A故选 D.对照：（08 浙江卷 9）已知，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足ac,则的最大值是 C0)()(cbcac（A）1 （B）2 （C） （D）2225.（2009 宁夏海南卷理）已知 O，N，P 在ABC所在平面内，且,0OAOBOC NANBNC，且PA PBPB PCPCPA，则点O，N，P 依次是ABC的（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 填空题7.（200
