2.3 变量间的相关关系

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1、2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关,自 学 导 引,1.掌握两个变量间的相关关系及正相关负相关不具相关关 系的判定. 2.通过收集实际生活中两个变量的有关数据作出散点图. 3.利用散点图直观地认识变量间的相关关系. 4.正确理解回归直线方程最小二乘法的概念. 5.能够根据散点图得到回归直线. 6.掌握利用最小二乘法求回归直线方程的方法.,课 前 热 身,1.相关关系与函数关系不同,相关关系是一种_性关 系. 2.从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个 变量的这种相关关系称为_,点散布在从左上角到右 下角的区域内,两个变量的这种

2、相关关系称为_. 3.从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点 图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有_, 这条直线叫_.,不确定,正相关,负相关,线性相关关系,回归直线,4.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数 据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn).且所求回归方程是 其中b是回归方程的_, 是_,则有,斜率,截距,通过求Q=_的最小 值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线 的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法.,(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2,名 师 讲 解,1.变量之间的相关关系 (1)相关

3、关系 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变 量之间的关系叫相关关系. (2)相关关系与函数关系的异同点 相同点:两者均是指两个变量的关系;,不同点:函数关系是一种确定的关系.如匀速直线运动中时 间t与路程s的关系;相关关系是一种非确定的关系.如一块农 田的水稻产量与施肥量之间的关系.事实上,函数关系是两个 非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的 关系.,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系, 也可能是伴随关系.例如,有人发现,对于在校儿童,鞋的大小与 阅读能力有很强的相关关系,然而学会新词并不能使脚变大, 而是涉及到第三个因素年龄,当儿童长大一些,他

4、的阅读 能力会提高,而且由于长大,脚也变大.,(3)相关关系的分析方向 由于相关关系的不确定性,在寻找变量间相关关系的过程中, 统计发挥非常重要的作用.我们可以通过收集大量的数据,在 对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,对它们的关 系作出判断.,2.两个变量的线性相关 (1)回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 通俗地讲, 回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性. (2)散点图 将n个数据点(xi,yi),(i=1,2,n)描在平面直角坐标系中,以表示 具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图. 散点图形象地反映了各对数据的密切程度.,(3

5、)正相关负相关 如果从散点图看到点散布的位置是左下角到右上角的区域. 这种相关称为正相关.反之,如果两个变量的散点图中,点散布 的位置是从左上角到右下角的区域.即一个变量的值由小变 大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关. 如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图的形状,则这 两个变量之间不具有相关关系.例如,学生的身高与学生的数 学成绩没有相关关系.,利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.,3.回归直线方程 (1)回归直线 观察散点图的特征,发现各点大致分布在一条直线的附近,就 称这两个变量之间具有线性相关的关系,这条直线叫做回归 直线.,(2)回归直线方程 设x与y具有相关关系

6、的两个变量,且相应于n组观测值的n个 点大致分布在一条直线的附近,则由,其中,b是回归方程的斜率,a是截距. 所得到的方程 叫作回归直线方程,相应的直线叫 作回归直线,而对两个变量所进行的统计分析叫作线性回归 分析.,(3)最小二乘法 设与n个观测点(xi,yi)(i=1,2,n)最接近的直线方程为 (注意它与表示一次函数的习惯y=ax+b不同 表示y的估 算值).其中a,b是待定系数. 用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2来刻画n个点与 回归直线在整体上的偏差. 上式展开后,是一个关于a,b的二次多项式,运用配方法,可求出 使Q取得最小值时a,b的值(

7、即上述公式中的a,b值).,上述求回归直线的方法,是使得样本数据的点到它的距离的 平方和最小.由于平方又叫二乘方,所以这种使“偏差平方和为 最小”的方法,叫做最小二乘法.,典 例 剖 析,题型一 相关关系的判断 例1:下表是某地的年降雨量与年平均气温,两者是相关关系吗? 求回归直线方程有意义吗?,分析:利用散点图进行判别.,解:以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量,可得相应的散点图如 下图所示:,因为图中各点并不在一条直线的附近,所以两者不具有相关 关系,没必要用回归直线进行拟合,如果用公式求得回归直线 也是没有意义的. 规律技巧:用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为: (1)作出散点图,判

8、断散点是否在一条直线附近; (2)如果散点在一条直线附近,用公式求出a,b并写出线性回归 方程.,变式训练1:5个学生的数学和物理成绩如下表:,画出散点图,并判断它们是否有相关关系.,题型二 求回归直线方程 例2:每立方米混凝土的水泥用量(单位:kg)与28天后混凝土的 抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据:,(1)画出散点图; (2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近,求y与x 之间的回归直线方程. 分析:(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点,便得到 具有相关关系的两个变量的一组数据的图形,即得散点图;(2) 按照求回归直线方程的步骤和公式,写出回归直线方程.,

9、解:(1)如下图.,(2)由散点图知,x与y之间具有线性相关关系,下面求回归直线 方程. 制表:,规律技巧:用公式求回归直线方程的一般步骤: (1)列表xi,yi,xiyi. (2)计算 (3)代入公式求 的值. (4)写出回归直线方程.,变式训练2:求变式训练1中的回归直线方程. 解:列表:,题型三 利用回归直线方程对总体进行估计 例3:在7块并排形状大小相同的实验田上进行施化肥量对水 稻产量影响的试验,得数据列表(单位:kg):,(1)画出散点图; (2)求水稻产量y与施化肥量x之间的回归直线方程; (3)当施化肥50 kg时,对水稻的产量予以估计. 分析:解答本题应先画散点图,判断其是否

10、线性相关,再利用最 小二乘法求其回归方程.,J,(1)画出散点图如图:由图可见是线性相关的.,(2)借助计算器列表:,(3)施化肥50 kg时,可以估计水稻产量约为495kg.,C,规律技巧:(1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某 种确定性;(2)求回归直线方程,关键在于正确地求出系数a,b, 由于a,b的计算量大,计算时要仔细,避免计算失误.,变式训练3:改革开放以来,我国高等教育事业有了迅速发展, 这里我们得到了某省从1990年到2000年18岁到20岁的青年 人每年考入大学的百分比.我们把农村,县镇和城市分开统计. 为了便于计算,把1990年编号为0,1991年编号为1,2000

11、年 编号为10.如果把每年考入大学的百分比作为因变量,把年份 从0到10作为自变量,进行回归分析,可得到下面三条回归直线: 城市: 县镇: 农村:,(1)在同一坐标系中作出这三条回归直线; (2)对于农村青年来讲,系数等于0.42意味着什么? (3)在这一阶段哪一组的大学入学率年增长最快?,解:(1)图象如下:,(2)对于农村青年来讲,0.42意味着考入大学的百分比平均以 每年0.42的速度递增,由此可以看出农村经济条件及教育现状 与城镇的差别. (3)城市组的大学入学率年增长最快.,技 能 演 练,基础强化 1.下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是( ) A.正方形的边长与面积 B.匀

12、速行驶的车辆的行驶距离与时间 C.人的身高与体重 D.人的身高与视力 解析:AB都是函数关系,C是相关关系,D中人的视力与身高 没有关系. 答案:C,2.下列关系是函数关系的是( ) A.产生样本与生产数量 B.球的表面积与体积 C.家庭的支出与收入 D.人的年龄与学习成绩 解析:球的表面积与体积存在函数关系,应选B. 答案:B,X,3.如下图所示,有5组(x,y)数据,去掉( )组数据后,剩下的4组 数据的线性相关系数最大.( ),解析:由相关关系及图象可知,去掉D(3,10)组数据后,余下的四 组数据相关关系最大. 答案:D,4.设有一个回归方程 ,则变量x增加一个单位时 ( ) A.y平

13、均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位 解析:由回归方程 知,x与y负相关,即x增加一个 单位,y平均减少1.5个单位. 答案:C,5.线性回归方程 必定过( ) A.(0,0)点 B.( , 0)点 C.(0, )点 D.( )点 解析:回归直线方程一定经过样本点的中心 答案:D,6.实验测得四组(x,y)的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则y与x之 间的回归直线方程为( )解析:把四组实验值代入验证知, 适合. 答案:A,7.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(kg)对身高 x(cm)的回归方程为 ,张刚

14、同学(20岁)身高 178 cm,他的体重应该在_kg左右. 解析:回归方程对身高178 cm的人的体重进行预测,当x=178 时,69.96,8.下列关于回归直线方程 bx+a叙述正确的是_. 反映 与x之间的函数关系; 反映y与x之间的函数关系; 表示 与x之间的不确定关系; 表示最接近y与x之间直线关系的一条直线. 解析: =bx+a表示 与x之间的函数关系,而不是y与x之间 的函数关系.但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系,故 选.,能力提升 9.下列说法: 线性回归方程适用于一切样本和总体; 线性回归方程一般都有局限性; 样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围; 线性回归方程

15、得到的预测值是预测变量的精确值. 其中正确的是_.,解析:样本和总体具有线性相关关系时,才能求线性回归方程, 而由线性回归方程得到的函数值是近似值,非精确值.因此线 性回归方程有一定的局限性.,10.(2007广东)下表提供了某厂节能降耗技术,改造后生产甲 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤) 的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图; (2)请据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回 归方程,(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤, 试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产 能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考 值:32.5+43+54+64.5=66.5),解:(1)由题设所给数据,可得散点图如下图所示:,(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗得 降低的生产能耗约为: 90-(0.7100+0.35)=19.65(吨标准煤).,