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1、理论力学 期中考试,论力学刁1.排列符号1SptsC9)利用排列符号的性质证明yx(ax月=(5.9)3+(v.厂3-(v8.刃5-(3.V)8vx(ax日=sne,(r日=auama4=a,(4B)-5,(4B)=B9,4+4d3,B-B3,4d-49口-(7)i+(y.印5-(e.715-(5.0)切0)设(S)足3X3xT称矩阵证明,2yxS二0。SxS一SgSy一6JxS几一0(9设(么)是3x3反对称短阵,且C一壹弓勾证明:小二2JxCt112mG=SpsmmTn=()2m一2.对称与守恒20pts!(9)每一个体系分别受到儿个约束,写珥约束方程:(8)每个体系的自由度分别等于多少?
2、霆b墓1D(9)考察下面的物理量:总能量一、总线动量的笛卡儿分量尻、友、尼以及总角动量的笛卡儿分量乙、及,乙。在每一种情形,指出这些量中的那些是守恒的,简单说明你的理由。由于没有耗散力,也没有不稳定约束,因此总能量矶在每一种情形都是守恒的由于体系(具有小方向的平移对称性,因此及守恒,而及、乃不守恒;体系(io)和(没有平移对称性,因此七的三个分量都不守恒;由于电场,三个体系都不具有任何转动对称性,因此左的笛卡儿分量都不守恒。3极值路径1Spts一个质量为1Kg的粒子受到一个总是指向负轴并日大小恒为1N的力的作用.考察所有巾二0时刻从口二0处出发、矶二1sec时刻又回到x二0处、并且形如x(门=
3、d+B+C的可能路径。(写出粒子的Lagrange函数历(丿);井=31由于势能口二一一-无二x,因此乙(X，x)=_xz_翼。(计算这些可能路径的作用量2H0OECcesoPO0313TT刀1017一T认能路径可以表示为X一473一df,而万二2一丿。因此Lagrange函数可以表示为时间?的如下函数117“卫二二(241一刑一14f一Lfj二24一jtf一才+二64-矶-(ar-动-Gp-4e-3所以s=f工j=(Z麒二_麒)1+王及z=王戚z+王履:S2A266(由()所得结果计算使得作用量取极值的路径;证明诙路径是“极小“路径由8(刃=13+y6=0“得到A=-J/2,因此极值路径为x
4、(月=一习/2十112;而且由于.S“()一/30,故该路径是所有可能路径当中使得作用量取极小值的。(证明(得到的路径就是真实的路径。由Lagrange方租或者Newton方程得真实路径满足方程爻一-1,即具有儿一Q十卫1一引以的光式,由x(0j一史一0以及x(i)一Q十卜一12一0得到Q二0,)二12。因此,(9得到的极值路径就是真实路径4.Noether定理1Spts1质量为力的粒子在势场7=无p2L+eos(59一z)小运动,其中人和丿都是大于零的常数,(口0.Z)为柱华标。(在柱坐标系下写出体系的Lagrange函数:l222办222一二工一厂二二I抹夕十外j一一大1+cos围_z5(
5、夙+p)5【(川仟确定广(5)的形式以使得变换p二D,仄二0+,二Z十广(S)为单参数点变换并且在该变换下L4grangs出教是不取的;说用济变保的几何惜义;由于动能在所给变换下是不变的,市且0也不变,因此Lagrange函数不变意味着cos(度_z)=cos(为艘_z)也就是说RC一Z二190一z+Eh一广(S)二9一z+21077或者广(5)一8一21077一。而单参数变换意味着广(二0)一0二2,所以广(s)一4。(9由Noether定理得到与()所反映体系对称性相联系的守恒量,试将该守恒量用动量和角动量在笛卡儿坐标系下的分量表示出来。Jinchutou.cCom5.悬挂点运动的平面摆2
6、0pts(9)以摆与坂直方向的夹角作为广义坐标,写出摄的Lagrange函数上(既桉J);一jX二王gZZc0s叨十/c0s浸+二g:77cosp卜g1cos0自2一,=二gfgSing+1sinb19F2=二2一mgleos(0-gp)+mg1cos0一一一s2水0f钜-二gchs奶一汨sm曰羞mgc0s浸一切)一mg/c0s浸一切)E(8)通过规范变换可以将摆的Lagrnge函数表示为不显含时间!的形式,即,9F(0,Z(e60)=z(o864500Gfl2=_，1霹gcos(役_硐)_菖，1g)zr3(1+eosgp)。拖出规范函数下(0,刀并写出(0.0);乙=工+誓=告m歼沸一glcos(9-p)+mglcos0(9对于工和亢分别写出广义动量D和D3以及Jacobi积分户和邑;找出仁与丿、矶的关系以及D与Da、万的关系;体系的能量是否守恒?为什么?户和仁是否守恒?为什么2力二87/86二/Z凄一ngzsj工浸一切户二量叫咿一ngms召一壹mg咿一壹mg俨Co8p叁区曰L/曰湟三126二量m腩】一8lcosb十MgLcos(9一切)巫亚二5已力二一一000办0
