《【新步步高】2016-2017学年高二数学人教b必修5课件：2.3.2 等比数列的前n项和（一） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【新步步高】2016-2017学年高二数学人教b必修5课件：2.3.2 等比数列的前n项和（一） （44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 等比数列 2.3.2 等比数列的前n项和(一),明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,明目标、知重点,1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.,填要点记疑点,1.等比数列前n项和公式：,(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q1的情况.,na1,2.等比数列前n项和公式的变式,3.错位相减法 推导等比数列前n项和的方法叫 法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.,错位相减,探要点究所然,情境导学,国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏
2、象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求”.国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查目前世界年度小麦产量约6亿 t，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.,探究点一 等比数列前n项和公式的推导,思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？ 答 所得数列为1,2,4,8，263.它是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an2
3、n1.,思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，转化为数列的怎样的一个问题？ 答 转化为求通项为an2n1的等比数列前64项的和.,思考3 类比求等差数列前n项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，263的和？为什么？ 答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等.,思考4 对于S641248262263，用2乘以等式的两边可得2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?,思考5 类比思考4中求和的方法，如何求等比数列an的前n项和Sn? 答 设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn. Sn写成：Sna1a1qa1q2a1qn
4、1. 则qSna1qa1q2a1qn1a1qn. 由得：(1q)Sna1a1qn.,当q1时，由于a1a2an，所以Snna1.,思考6 下面提供了两种推导等比数列前n项和公式的方法.请你补充完整. 方法一 由等比数列的定义知：,当 时，由等比性质得：,q1,当 时，易知Sn .,q1,na1,方法二 由Sna1a2a3an得： Sna1a1qa2qan1q a1q a1q 从而得(1q)Sn .,(a1a2an1),(Snan),a1anq,当q1时，Snna1.,例1 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？ 解 这句话用现代文叙述是“一尺长的木棒，每天取它的一半，永远
5、也取不完”.,反思与感悟 涉及等比数列前n项和时，要先判断q1是否成立，防止因漏掉q1而出错.,跟踪训练1 若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_. 解析 设等比数列的公比为q， 由a2a420，a3a540. 20q40，且a1qa1q320，解之得q2，且a12.,2,2n12,方法二 把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项， 即顺序颠倒，也得到一个等比数列bn，其中b1a81，q2，,反思与感悟 等比数列的前n项和公式和通项公式中共涉及a1，an，q，n，Sn五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”.,跟踪训练2
6、 求下列等比数列前8项的和：,探究点二 等比数列前n项和的实际应用 例3 某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p0)，求这个工厂去年全年产值的总和.,解 该工厂去年2月份的产值为a(1p)元，3月，4月的产值分别为a(1p)2元，a(1p)3元， 去年12个月的产值组成以a为首项，1p为公比的等比数列，,因此，该厂去年全年的总产值为,反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”.理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题.,跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里
7、，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，,热气球在前n分钟内上升的总高度为 Sna1a2an,故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.,探究点三 错位相减法求和 例4 求和：Snx2x23x3nxn (x0). 解 分x1和x1两种情况.,当x1时，Snx2x23x3nxn， xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，,反思与感悟 一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.,跟踪训练4 求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和
8、. 解 (1)当a0时，Sn1. (2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，,(3)当a1且a0时， 有Sn13a5a27a3(2n1)an1 aSna3a25a37a4(2n1)an ,得 SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an， (1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1),当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn为( ),1,2,3,4,解析 当x1时，Snn；,答案 C,1,2,3,4,解析 方法一 由等比数列的定义，,1,2,3,4,答案 C,1,2,3,4,3.等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它
9、的前5项的和是( ) A.179 B.211 C.243 D.275,B,1,2,3,4,4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_.,解析 注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. 1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151).,11a(1.151),呈重点、现规律,1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况.,3.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.,
