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1、7 向量应用举例 7.2 向量的应用举例,明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程. 2.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程. 3.体会向量是一种处理几何、物理问题的有力工具.,明目标、知重点,填要点记疑点,1.向量方法在几何中的应用 已知,a(x1,y1),b(x2,y2)(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)ab . (2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件：abab
2、0 .,x1y2x2y10,x1x2y1y20,(3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式cos . (4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式.,2.向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是 . (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的运算,运动的叠加亦用到向量的合成. (3)动量m是 向量. (4)功即是力F与所产生位移s的 .,向量,加、,减,数乘,数量积,探要点究所然,情境导学,向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便
3、.本节专门研究平面几何以及物理中的向量方法.,探究点一 平面向量在几何中的应用,导引 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处,且解法思路清晰、简洁直观.其基本方法是：,思考1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,距离,夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.,答 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.,思考3 请用向量法给出上述结论的证明. 证明 在平行四边形AB
4、CD中,例1 如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,ARRTTC.,反思与感悟 解答过程易出现无从下手的情况,导致此种情况的原因是不能灵活选定基底,无法集中条件建立几何元素与向量之间的联系.,证明 选a,b为基底.延长OG交AB于M点, G为OAB的重心, M为AB的中点,如图.,探究点二 向量的线性运算在物理中的应用,思考1 向量与力有什么相同点和不同点？ 答 向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的. 用向量
5、知识解决力的问题,往往是把向量起点平移到同一作用点上.,思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？ 答 速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成. 小结 向量有丰富的物理背景.向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时,实质就是向量的线性运算.,思考3 请利用向量的方法解决下列问题：如图所示, 在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子 与铅垂方向的夹角为,绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|,|F2|随角的变化而变化的情况； 答 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,|F2|G|
6、tan , 当从0趋向于90时,|F1|,|F2|都逐渐增大.,(2)当|F1|2|G|时,求角的取值范围.,又因为090,所以060.,例2 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30,速度为20 km/h,此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.,解 建立如图所示的直角坐标系,风的方向为北偏东30,速度为|v1|20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|20(km/h), 设帆船行驶的速度为v, 则vv1v2.,由题意,可得向量v1(20cos 60,20sin 60)(10,10 ) ,向
7、量v2(20,0), 则帆船的行驶速度 vv1v2(10,10 )(20,0)(30,10 ),所以30. 所以帆船向北偏东60的方向行驶,速度为20 km/h.,跟踪训练2 某人在静水中游泳,速度为4 km/h,水的流速为4 km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？,实际速度游速水速,思考1 向量的数量积与功有什么联系？ 答 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,即W|F|s|cosF,s,功是一个实数,它可正可负,也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角,它实质是向量F与s的数量积.,探究点三 向量的数量积在物理中的
8、应用,思考2 已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上),大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数0.02的水平平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g10 m/s2) 答 如右图所示,设木块的位移为s,将力F分解,它在竖直方向上的分力F1的大小为,所以,摩擦力f 的大小为 |f |(GF1)|(8025)0.021.1(N), 因此,fs|f |s|cos 1801.120(1)22(J).,例3 已知两恒力F1(3,4),F2(6,5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0). (1)求F1,F2分别对质点所做的功；,3(13
9、)4(15)99(J),6(13)(5)(15)3(J).,力F1,F2对质点所做的功分别为99 J和3 J.,(2)求F1,F2的合力F对质点所做的功.,(3,4)(6,5)(13,15)(9,1)(13,15) 9(13)(1)(15)11715102(J). 合力F对质点所做的功为102 J.,反思与感悟 物体在力F作用下的位移为s,则WFs|F|s|cos ,其中为F与s的夹角.,跟踪训练3 已知F(2,3)作用于一物体,使物体从A(2,0)移动到B(2,3),求F对物体所做的功.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m
10、,且F与s的夹角为60,则力F所做的功W_ J. 解析 WFs|F|s|cosF,s 6100cos 60300(J).,300,1,2,3,4,1,2,3,4,解析 O是BC的中点,答案 2,1,2,3,4,3.正方形OABC的边长为1,点D、E分别为AB、BC的中点,试求cosDOE的值. 解 以OA,OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系,如图所示,4.一艘船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天水流速度为3 km/h,方向正东,风的方向为北偏西30,受风力影响,静水中船的漂行速度为3km/h,若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡,求船本身的速度大小及方向.,1,2
11、,3,4,1,2,3,4,解 如图,设水的速度为v1,风的速度为v2,v1v2a.易求得a的方向是北偏东30,a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v.,方向由南向北,大小为2 km/h,船本身的速度为v3,则av3v,即v3va,数形结合知v3的方向是北偏西60,大小是 km/h.,1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路：一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.,呈重点、现规律,2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步：(1)问题的转化,把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立,建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取,求出数学模型的相关解；(4)问题的答案,回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象.,
