11数列问题的题型与方法

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1、福建省邵武第一中学 1第 11 讲 数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比

2、数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 （2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 （3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能

3、和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法二、方法技巧1判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于 n2 的任意自然数,验证 为同一常数。11(/)nnaa(2)通项公式法：若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，则 为等差数列；n若 ，则 为等比数列。na(3)中项公式法：验证

4、中项公式成立。福建省邵武第一中学 22. 在等差数列 中,有关 的最值问题常用邻项变号法求解： nanS(1)当 0,d0 时，满足 的项数 m 使得 取最小值。1a10ma在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1证明数列 是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或na 11nnaa而得。1na2在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意 与 之间关系的转化。如：nsa= ， = n10nS21

5、nankka211)(4数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路5解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略四、例题解析例 1已知数列a 是公差 d0 的等差数列，其前 n 项和为 S n n(2)过点 Q (1，a )，Q (2，a )作直线 12，设 l 与 l 的夹角为 ，12 12证明：(1)因为等差数列a 的公差 d0，所以n福建省邵武第一中学 3Kp p 是常数(k=2，3，n)1k(

6、2)直线 l 的方程为 y-a =d(x-1)，直线 l 的斜率为 d212例 2已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，nanS1 142(,)nSaa设数列 ，求证：数列 是等比数列；),21(1b nb设数列 ，求证：数列 是等差数列；,2cn c求数列 的通项公式及前 项和。an分析：由于b 和c 中的项都和a 中的项有关，a 中又有 S =4a +2，可由 S -Sn n1n2n作切入点探索解题的途径1n解：(1)由 S =4a ，S =4a +2，两式相减，得 S -S =4(a -a )，即 a =4a -4a12n12 1(根据 b 的构造，如何把该式表示成 b 与 b 的关系是

7、证明的关键，注意加强恒等变形能力n 1n的训练)a -2a =2(a -2a )，又 b =a -2a ，所以 b =2b 21n 1n已知 S =4a +2，a =1，a +a =4a +2，解得 a =5，b =a -2a =3 121221由和 得，数列 b 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，故 b =32 n n1当 n2 时，S =4a +2=2 (3n-4)+2；当 n=1 时，S =a =1 也适合上式n1n 1福建省邵武第一中学 4综上可知，所求的求和公式为 S =2 (3n-4)+2n1说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前

8、 项和。解决本题的关键在于由条件 得出递推公式。n 241na2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用例 3 （04 年浙江）设数列a n的前项的和 Sn= （a n-1） (n +),（1）求 a1;a2; (2)求证数列a n为3N等比数列。解: () 由 ,得 又 ,即)1(31S)1(12)1(322S,得 .221a42() 当 n1 时, ),(3)(11nnnn a得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列.,21nana2例 4、 （04 年重庆）设 a1=1,a2= ,an+2= an+1- an (n=1,2,-),令 b

9、n=an+1-an (n=1,2-)求数列b n353的通项公式，(2)求数列na n的前 n 项的和 Sn。解：（I）因 121nb11122()3nnn故b n是公比为 的等比数列，且 3故,32ab ),1(b（II）由 得nna)3(1 )( 1211ann 3)()2321 nn注意到 可得,1a,31nn记数列 的前 n 项和为 Tn，则321n122(),()()333nn nT 12(),3n nn 两 式 相 减 得福建省邵武第一中学 51 112(3)29()3()93()21823nnnn nnnTSaaT 故从 而例 5在直角坐标平面上有一点列 ，对一切正整数 ，点 )

10、,(,),(),(21 nyxPyxP位于函数 的图象上，且 的横坐标构成以 为首项， 为公差的等差数列nP43xyn5。x求点 的坐标；n设抛物线列 中的每一条的对称轴都垂直于 轴，第 条抛物线 的顶 ,321ncc xnnc点为 ，且过点 ，记与抛物线 相切于 的直线的斜率为 ，求：P)0(DncnDk。nkk1321设 ，等差数列 的任一项1,4|,1,| yTNxS nna，其中 是 中的最大数， ，求 的通项公式。TanaS25260a解：（1） 3)(25xn135,)424n nyP（2） 的对称轴垂直于 轴，且顶点为 . 设 的方程为：cxnc ,4512)3(nxay把 代入

11、上式，得 ， 的方程为： 。),0(2Dn 1a)22nx，3| ykx 31(1)32(1 kn321 )2975 n= 6410)5(nn（3） ，1,),(|NxS5yT 1,3)16(2|nNnyT 中最大数 .,71a设 公差为 ，则 ，由此得nad5,(90d).(247,24 )298*Nnd mn又说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1） 、 （2）两问运用几何知识算出 ，解决nk（3）的关键在于算出 及求数列 的公差。STna福建省邵武第一中学 6例 6数列 中， 且满足 na2,841annaa12*N求数列 的通项公式；设 ，求 ；|2nS S设 = ，是否存在

12、最大的整数 ，nb)1(na )(),( *21*bbTNn m使得对任意 ，均有 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。*3mm解：（1）由题意， ， 为等差数列，设公差为 ，nna12 nd由题意得 ， .38d210)(28（2）若 ，50则 |, naS时 212 9,2na时，6n naaaS 7651 40)(25 Snn故 n4092（3） )1(2)1()1( nnabnnT )1(432 n .)(2若 对任意 成立，即 对任意 成立，3m*N16mn*N的最小值是 ， 的最大整数值是 7。)(1*n,2即存在最大整数 使对任意 ，均有,7*.3Tn说明：本例复习数

13、列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.五、强化训练（一）用基本量方法解题1、 （04 年浙江）已知等差数列的公差为 2，若 a1,a3,a4成等比数列，则 a2= （B ）A 4 B 6 C 8 D 10 （二）用赋值法解题2、 （96 年）等差数列 an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（C ） A 130 B 170 C 210 D 2603、 （01 年）设 an是公比为 q 的等比数列， Sn是 an的前 n 项和,若 Sn是等差数列，则 q=_1_4、设数列 an的前项的和 Sn= （对于所有 n 1） ，且 a4=54,则 a1=_

14、2_2)13(1a福建省邵武第一中学 7（三）用整体化方法解题5、 （00 年）已知等差数列 an满足 a1+a2+a3+a101=0,则有（C ） A a1+a1010 B a2+a1000,Sn是 an的前 n 项和， Sn取得最大值，则 n=_9_.10、 （01 年上海）已知数列 an中 an=2n-7,(n N+), + +-+ =_153_ 1215（五）用递推方法解题11、 （03 年全国）设 an是首项为 1 的正项数列，且（ n+1） a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通项公式是_1/ n12、 （04 年全国）已知数列 an满足 a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1 (n1),则 an的通项an=_a1=1;an= n 2 !13、 （04 年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，