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1、1等腰三角形三线合一 专题训练姓名 例 1：如图，四边形 ABCD 中，ABDC，BE、CE 分别平分ABC、BCD，且点 E 在 AD 上。 求证：BC=AB+DC。变 1：如图，ABCD，A90，AB2，BC3，CD1，E 是 AD 边中点。求证：CEBE。变 2：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 CD 上一点，且 AE、BE 分别平分BAD、ABC.（1）求证：AEBE； （2）求证：E 是 CD 的中点； （3）求证：AD+BC=AB.BCEAD2变 3：ABC 是等腰直角三角形 ，BAC=90,AB=AC.若 D 为 BC 的中点，过 D 作 DMDN 分别交 AB、AC
2、 于 M、N，求证：（1）DMDN。若 DMDN 分别和 BA、AC 延长线交于 M、N。问 DM 和 DN 有何数量关系。(1)已知：如图，AB=AC，E 为 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，且 BE=CF，EF 交 BC 于点 D求证：DE=DFD DB BC CF FA AE EMNDCBAMNDCBA3(2)已知：如图，AB=AC，E 为 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，且，EF 交 BC 于点 D，且 D 为EF 的中点 求证：BE=CFD DB BC CF FA AE E利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在ABC 中，AB=AC，P 为底边 BC 上的一
3、点，PDAB 于 D，PEAC 于 E，CFAB 于 F，那么 PD+PE 与 CF 相等吗？4变 1：若 P 点在直线 BC 上运动，其他条件不变，则 PD 、PE 与 CF 的关系又怎样，请你作图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、9，则它的周长为（ ） A 17 B 22 C 17 或 22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律根据等腰三角形的性质寻求规律例例 1 1在ABC 中，AB=AC，1=ABC，2=ACB，BD 与 CE 相交于点 O，如图，BOC 的大1 21 2 小与A 的大小有什么关系？若1=ABC，2=ACB，则BOC 与A 大小关系如何？1 31 3若1=
4、ABC，2=ACB，则BOC 与A 大小关系如何？1 n1 n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例例 2 2如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD将这个等腰三角 形周长分成 15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及5底边长利用等腰三角形的性质证线段相等利用等腰三角形的性质证线段相等 例例 3 3如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP 为边作PBQ=60，且 BQ=BP， 连结 CQ（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论 （2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ
5、，试判断PQC 的形状，并说明理由例 1、等腰三角形底边长为 5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是 3cm 的两部分，则腰长为（ ）A、2cm B、8cm C、2cm 或 8cm D、不能确定例 2、已知 AD 为ABC 的高，AB=AC，ABC 周长为 20cm，ADC 的周长为 14cm，求 AD 的长。例 3、如图，已知 BC=3，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O，OEAB，OFAC，求OEF 的周长。例 4、如图，已知等边ABC 中，D 为 AC 上中点，延长 BC 到 E，使 CE=CD，连接 DE，试说明 DB=DE。ABCABCDEABFCOE6例 5、等腰三角形一腰上的
6、高与底边的夹角为 450，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形例 6、 （1）等腰三角形的腰长为 10，底边上的高为 6，则底边的长为 。（2）直角三角形的周长为 12cm，斜边的长为 5cm，则其面积为 ；（3）若直角三角形三边为 1，2，c，则 c= 。例 7、下列说法：若在ABC 中 a2+b2c2，则ABC 不是直角三角形；若ABC 是直角三角形，C=900，则 a2+b2=c2；若在ABC 中，a2+b2=c2，则C=900；若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）
7、。例 8、正三角形 ABC 所在平面内有一点 P，使得PAB、PBC、PCA 都是等腰三角形，则这样的 P 点 有（ ） （A）1 个（B）4 个（C）7 个（D）10 个例 9. 四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为 8，则 BE=（ ）A2B3CD2 22 3例 10. 已知ABC 为正三角形，P 为其内一点，且 AP=4，BP=，CP=2，则ABC 的边长为 （ ）32（A） （B） （C）4 （D）527224三巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 9，求它的周长。2、在ABC 中，AB=AC，B=400，则A=
8、。3、等腰三角形的一个内角是 700，则它的顶角为 。4、有一个内角为 40的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140呢 5、如图，在 RtABC中，C105o，直线BD交AC于D，DCBA7PCBA把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，如果ABD是等腰三角形，那么A 等于 （ ）(A)40o (B) 30o (C) 25o (D )1 15o6、若ABC 三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则ABC 的形状为（ ） （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是 （ ）
9、 。A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ） A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半 9、在等腰三角形 ABC 中，A 与B 度数之比为 52，则A 的度数是（ ） A、100 B、75 C、150 D、75或 10010、如图，P、Q 是ABC 边 BC 上的两点，且 QCAPAQBPPQ，则BAC（ ）A、1250 B、1300 C、900 D、120011、如图，ABC 中，ABAC，BD、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。A、4 个 B、6 个 C、3 个 D、5
10、个12、如图，ABAC，AEEC，ACE280，则B 的度数是（ ）A、600 B、700 C、760 D、45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫 P 在边框 AC 上（端点 A、C 除外），设甲虫 P 到 另外两边距离之和为 d，等边三角形 ABC 的高为 h， 则 d 与 h 的大小关系是（ ） 【解题方法指导解题方法指导】例 1. 已知，如图，ABACCD，求证：B2DA B C D ECBAE D C B A QPCBA10 题图11 题图12 题图8例 2. 已知，如图，ABC 是等边三角形，AD/BC，ADBD，BC6，求 AD 的长。D A B C 【考点指要考点指要】等腰三
11、角形、等边三角形及含 30角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中 经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很 大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析典型例题分析】例 1. （2005 年 苏州）如图，等腰三角形 ABC 的顶角为 120，腰长为 10，则底边上的高 AD_。A B C D 例 2. 已知，如图，ABC 中，C90，AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于 D，AD8，A30，求 CD 的长。C D A B E 例 3. 已知，如图，ABC 是等边三角形，E 是 AB 上一点，D 是 AC 上
12、一点，且 AECD，又 BD 与 CE 交于点 F，试求BFE 的度数。9A E D F B C 【综合测试综合测试】1. 已知，如图，ABAC，ABDACD，求证：DBDCA B C D 2. 已知，如图，D、E 是 BC 上两点，ABAC，ADAE，求证：BDCEA B D E C 3. 已知，如图，ABC 中，DE/BC，ABAC，求证：ADAEA D E B C 4. 已知，如图，ABC 中，ABAC，D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，DE 交 BC 于 F， 又 BDCE，求证：DFEFA D B C E F 105. 已知，如图，D 是 BC 上一点，ABC、BDE
13、 都是等边三角形，求证：ADCEA B D C E 6. 已知，如图，ABC 中，B90，AC 的垂直平分线交 AC 于 D，交 BC 于 E，又C15， EC10，求 AB 的长。A D B C E 例 6、如图 11，在ABC 中，A90，ABAC，D 为 BC 边中点，E、F 分别在 AB、AC 上，且 DEDF，求证：AEAF 是一个定值.证明：连接 AD， ABAC，D 为 BC 中点，ADBC，BAC90，ABAC， BC45，BAD45，CAD45，ADBDCD，EDF90，EDAADF90，又由 ADBC 得BDEADE90，BDEADF，在BDE 和ADF 中，BDAF，BDAD，BDEADF，BDEADF，BEAF，AEAFAEBEAB（定值）.思考：四边形 AEDF 的面积是否也是定值呢？为什么？例 4、如图 9，已知 AD 为ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BFAC，FDCD，你认为 BE 与AC 之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？证明：线段 BEAC，理由如下：ADBC，ADBADC90，FBDBFD90，图 11FADBCE图图5 5DBCAO11在 RtBDF 和 RtADC 中，BFAC，FDCD，RtBDFRtADC，
