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1、第第 1 1 章章 特殊的平行四边形特殊的平行四边形1,11,1 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 一、教学目标：一、教学目标：1、菱形的性质定理的运用2菱形的判定定理的运用 二、教学重点难点：二、教学重点难点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导，运用综合法解决菱形的相关题型。 三、概念：三、概念： 菱形性质： 1 两条对角线互相垂直平分； 2 四条边都相等； 3 每条对角线平分一组对角； 4 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。菱形的判定定理： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形（根据对角线） 3、四条边都相等的四边形是菱形（根据四
2、条边） 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形（对角线和角的关系）四、讲课过程：四、讲课过程： 1 1、例题、例题、 例 1.（2006大连）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且 DE=BF请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条 线段相等（只须证明一组线段相等即可） （1）连接 AF ； （2）猜想： AF = AE ； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。 分析：观察图形应该是连接 AF，可通过证AFB
3、和ADE 全等来实现 AF=AE 解答：解：（1）如图，连接 AF；（2）AF=AE；（3）证明：四边形 ABCD 是菱形 AB=AD， ABD=ADB， ABF=ADE， 在ABF 和ADE 中ABFADE， AF=AE点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明例 2、（2009贵阳）如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合），连接 DP 交对角线 AC 于 E 连接 BE （1）证明：APD=CBE； （2）若DAB=60，试问 P 点运动到什么位置时，ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ，为什么？考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质
4、；等边三角形的性质。 专题：证明题；动点型。 分析：（1）可先证BCEDCE 得到EBC=EDC，再根据 ABDC 即可得到结论（2）当 P 点运动到 AB 边的中点时，SADP= S菱形 ABCD，证明 SADP= ABDP= S菱形 ABCD即可解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形 BC=CD，AC 平分BCD（2 分） CE=CE BCEDCE（4 分） EBC=EDC 又ABDC APD=CDP（5 分） EBC=APD（6 分）（2）解：当 P 点运动到 AB 边的中点时，SADP= S菱形 ABCD（8 分）理由：连接 DB DAB=60，AD=AB ABD 等边三角形（9
5、分） P 是 AB 边的中点 DPAB（10 分）SADP= APDP，S菱形 ABCD=ABDP（11 分）AP= ABSADP= ABDP= S菱形 ABCD即ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 （12 分）点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当 P 点运动到 AB 边的中点时，SADP= S菱形 ABCD是难点 例 3、（2010宁洱县）如图，四边形 ABCD 是菱形，BEAD、BFCD，垂足分别为 E、F （1）求证：BE=BF； （2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。 分析：（1）根据菱
6、形的邻边相等，对角相等，证明ABE 与CBF 全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以 高两种求法即可求出解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形， AB=CB，A=C， BEAD、BFCD， AEB=CFB=90， 在ABE 和CBF 中，ABECBF（AAS）， BE=BF（2）解：如图， 对角线 AC=8，BD=6， 对角线的一半分别为 4、3，菱形的边长为=5，菱形的面积=5BE= 86，解得 BE=点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法 例
7、 3、（2011广安）如图所示，在菱形 ABCD 中，ABC=60，DEAC 交 BC 的延长线于点 E求证：DE= BE考点：菱形的性质。 专题：证明题。 分析：由四边形 ABCD 是菱形，ABC=60，易得 BDAC，DBC=30，又由 DEAC，即可证得 DEBD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得 DE= BE解答：证明： 法一：如右图，连接 BD， 四边形 ABCD 是菱形，ABC=60， BDAC，DBC=30， DEAC， DEBD， 即BDE=90，DE= BE法二：四边形 ABCD 是菱形，ABC=60， ADBC，AC=AD， ACDE， 四边形 ACED 是
8、菱形， DE=CE=AC=AD， 又四边形 ABCD 是菱形， AD=AB=BC=CD，BC=EC=DE，即 C 为 BE 中点，DE=BC= BE点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识此题难度不大，注意数形结合思想的应用例 4.（2010益阳）如图，在菱形 ABCD 中，A=60，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为 E （1）求ABD 的度数； （2）求线段 BE 的长考点：菱形的性质。 分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又A=60，得到ABD 是等边三角形，ABD 是 60； （2）先求出 OB 的长和BOE 的度数，再根据 30角所对的直角
9、边等于斜边的一半即可求出 解答：解：（1）在菱形 ABCD 中，AB=AD，A=60， ABD 为等边三角形， ABD=60；（4 分）（2）由（1）可知 BD=AB=4， 又O 为 BD 的中点， OB=2（6 分）， 又OEAB，及ABD=60， BOE=30， BE=1（8 分） 点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握2 2、巩固练习巩固练习 1.有一组邻边相等的平行四边形是_. 2.菱形的两条对角线长分别是 8 cm 和 10 cm,则菱形的面积是_. 3.菱形的两邻角之比为 1：2，边长为 2，则菱形的面积为_. 4.菱形的面积
10、等于（ ）（20 分） A.对角线乘积B.一边的平方 C.对角线乘积的一半 D.边长平 方的一半 5.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）（20 分） A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线相等且垂直D.两条对角线互相垂直平分 6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）（20 分）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7.如图，四边形 ABCD 是菱形，ABC=120，AB=6cm，则ABD=_，DAC 的度数 为_；对角线 BD=_，AC=_；菱形 ABCD 的面积为_（20 分）8、在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段A
11、C的中垂线，交AD、BC于E、F.求 证：四边形AECF是菱形（20 分）9、如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD=5，ABCDOOABCDMNODCBA求：（1）BAC 的度数；（2）求 AC 的长。 10、四边形ABCD是矩形，四边形AECF是菱形，若AB=2cm，BC=4cm，求 四边形AECF的面积。11、在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CE=CF，过点 C 做 CGEA 交 FA 于 H ，交 AD 于G，若BAE=25，BCD=130，求AHC 的度数。3 3、作业：、作业：一、选择题。 1、已知菱形两个邻角的比是 1:5，高是 8cm，则菱形的周长
12、是（ ）。A. 16cm B. 32cm C. 64cm D. 128cm 2、已知菱形的周长为 40 cm，两对角线长的比是 3:4，则两对角线的长分别是（ ）。A. 6cm、8cm B. 3cm、4cm C. 12cm、16cm D. 24cm、32cm 3、如图：在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，且E、F分别为BC、CD的中点，那么EAF等于（ ）。A. 75 B. 60 C. 45 D. 304、棱形的周长为 8.4cm，相邻两角之比为 5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（ ）A、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm5、菱形具有而矩形不具有的性质是 (
13、 )A对角相等 B四边相等 C对角线互相平分 D四角相等6、ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定ABCD是菱形的是（ ）。 A. AB=AD B. ACBD C. A=D D.CA平分BCD 7、下列命题中，真命题是（ ）。 A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。 B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。 C. 对角线互相垂直的矩形是菱形。D. 菱形的对角线相等。 8、菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）。A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 9、已知菱形的两条对角线长为 10cm 和 24cm, 那么这个菱形的周长为_, 面积为_. 10、将两张长 10c
14、m 宽 3cm 的长方形纸条叠放在一起, 使之成 60 度 角, 那么重叠部分的面积的最大值为_. 11、一个菱形面积为 80, 周长为 40, 那么两条对角线长度之和为 _. 12、已知菱形 ABCD 中，E、F 分别在 BC 和 CD 上，且B=EAF=60，BAE=15，求CEF 的度数。13、已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且CE=CF。过点 C 作 CGEA 交 AF 于 H，交 AD 于 G，若BAE=25，H HG GF FE ED DC CB BA ABCD=130，求AHC 的度数。14、如图所示，已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上，且 AB=AE，BAE=EAD，AE 交 BD 于 M，试说明21BE=AM。15、 如图，在ABC 中，AB=BC，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 上的中点，（1）求证四边形 BDEF 是菱形。（2）若 AB=12cm，求菱形 BDEF 的周长？16、已知：如图，ABC 中，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB上一点，且 AE=AC，EFBC 交 AD 于点 F，求证：四边形 CDEF 是菱形。17. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC、AC 分别交于点 E、F、O，求证：四边形 AFCE 是菱形。18、已知：
