沪科版四边形讲义

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1、四边形两组对边平行一个内角为Rt一个内角为Rt, 一组邻边相等一组邻边相等一组对边平行 且另一组对边不平行一个内角为Rt一组邻边相等四边形两组对边平行一个内角为Rt一个内角为Rt, 一组邻边相等一组邻边相等一组对边平行 且另一组对边不平行一个内角为Rt一组邻边相等四边形四边形 讲义讲义知识脉络：一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四 边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形， 三角形中位线，梯形中位线. 多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 凸边形：一个多边形，如果把它任何一边双

2、向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁， 这样的多边形叫做凸边形。 1四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于 360； （2）四边形的外角和等于 360.2多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180； （2）任意多边形的外角和等于 360.ABCD1234ABCD图 1FEDCBA图 2FEDCBA3.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的性质：因为四边形 ABCD 是平行四边形.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4.平行四边形的判定：.是平行四

3、边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD543215.两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行 线的距离平行线间的距离处处相等 平行四边形的面积：=BCAE=CDBFABCDSA A同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.=ABCDSA ABCFESA A(5)中心对称图形，对称中心是对角线的交点。(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积5.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性

4、质：因为四边形 ABCD 是矩形 .3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ABDOCABDOCADBCADBCO6. 矩形的判定：四边形 ABCD 是矩形. 边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321(4)矩形是轴对称、中心对称图形(5) 矩形面积长宽7.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质： 因为 ABCD 是菱形 .321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（8菱形的判定：四边形 ABCD 是菱形. 边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321(4)

5、菱形是轴对称、中心对称图形(5) 菱形面积底高对角线乘积的一半9.正方形：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 正方形的性质： 因为 ABCD 是正方形 .321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（CDAB（1） ABCDO（2） （3） (4)正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形如上方右图。(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等CDBAOCDBAOADBCADBCO(7)正方形的面积：若正

6、方形的边长为a，对角线长为b，则22 2baS10正方形的判定：四边形 ABCD 是正方形. 一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321(3)ABCD 是矩形 又AD=AB 四边形 ABCD 是正方形(2)判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形(或矩形)；最后证明它是矩形(或菱形)11.梯形：只有一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 等腰梯形的性质：因为 ABCD 是等腰梯形 .321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（12.等腰梯形的判定：四边形 ABCD 是等腰梯形 对角线相等）梯形（底角相等）梯形（

7、两腰相等）梯形（321(3)ABCD 是梯形且 ADBC AC=BD ABCD 四边形是等腰梯形(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴（5） 梯形的面积(1) DEABCDSABCD)(21梯形ABCDOABCDOCDAB(2)梯形中有关图形面积：BACABDSSBOCAODSSBCDADCSS 13梯形中常见的辅助线：ABEFDECABDCABDCABDCEFFABDCABDCABDCABDCGFEEEE14.三角形中位线定义： 连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。 （三角形有三条 中位线） 三角形中位线定理：(性质) 三角形的中位线平行第三边，

8、 并且等于它的一半. 15.梯形中位线定义：连 接梯形两腰中点的线段，叫做梯 形的中位线。 （梯形的中位线有且 只有一条） 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半.二中心对称图形：（1）定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转 180O，如果旋转前后的图形互相重合，那么 这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. （2）中心对称图形的性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平 分 轴对称图形中心对称图形 有一条对称轴直线有一个对称中心点 沿对称轴对折绕对称中心旋转 180O 对折后与原图形重合旋转后与原图形重合EFDABCEDCBA如果把一个图形

9、沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫 做轴对称图形 这条直线叫做 对称轴 这时,我们也说这个图形关于这条直线对称（3）中心对称的有关定理 1关于中心对称的两个图形是全等形. 2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于 这一点对称. 三 常识：1若 n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：.2)3n(n2规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. 4常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇

10、边形、等腰梯 形 ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、 菱形、正方形、正偶边形、圆 .注意：线段有两条对称轴. n边形的的性质：（1）n边形的内角和等于180)2(n（2）任意多边形的外角和等于360（3）n边形共有2)3( nn条对角线（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。（5）正多边形的每个内角等于nn180).2( 5四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角 6顺次连接顺次连接任意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形。顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的是四边形是菱形， 如矩形、等腰梯形或图二中图形等。 顺次连接

11、对角线垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是矩形， 如菱形或图三中图形等。 顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形，如 正方形或图四中图形等。证明类题型：证明类题型：1、在 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 上的点，且 AECF求证：BFDE。2、菱形 ABCD 的对角线交于 O 点，DEAC，CEBD，求证：四边形 OCED 是矩形。3、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，M、N、P、Q 分别为 AD、BC、BD、AC 的中点。求证：MN 和 PQ 互相平分。4.已知：如图，平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，求证：四边形

12、 EFGH 是矩形。5.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， （1） ，画出AOB 平移后的三角形，其平移的方向为射线 AD 的方向，平移的距离为线段 AD 的长。 （2）观察平移后的图形，除了矩形 ABCD 外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。6.如图所示，已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上，且 AB=AE，BAE=EAD，AE 交 BD 于 M，试说21明 BE=AM。ADFEBCADECBONMQPDCBA7.已知：如图，ABC 中，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB 上一点，且 AE=AC，EFBC交 AD 于点 F，求证：四边形 C

13、DEF 是菱形。8 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC、AC 分别交于点 E、F、O，求证：四边形 AFCE 是菱形。9.已知：如图，C 是线段 BD 上一点，ABC 和ECD 都是等边三角形，R、F、G、H 分别是四边形 ABDE 各边的中点，求证：四边形 RFGH 是菱形。10.如图，已知在ABC 中，AB=AC，B，C 的平R RH HG GF FE ED DC CB BA A分线 BD、CE 相交于点 M，DFCE，EGBD，DF 与 EG 交于 N，求证：四边形 MDNE 是菱形。11.已知：如图所示，ABCD 为菱形，通过它的对角线的交点 O 作

14、 AB、BC 的垂线，与AB、BC，CD，DA 分别相交于点 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形。12.如图，菱形ABCD的边长为 2，BD2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足 AECF2 (1) 求证：BDEBCF； (2) 判断BEF的形状，并说明理由； (3) 设BEF的面积为S，求S的取值范围13、如图，正方形 ABCD 中，过 D 做 DEAC，ACE =30，CE 交 AD 于点 F，求证：AE = AF；14、如图，在 ABC 中，BAC =，ADBC 于 D，CE 平分ACB，交 AD 于 G，交 AB 于 E，EFBC 于90F，求证：四边形 AEFG

15、 是菱形；15、如图，正方形 ABCD 中，F 在 CD 上，AE 平分BAF，E 为 BC 中点，求证：AF = BC + CF16、已知 ABC 中，E、F 分别为 AB、AC 的中点，CD 平分BCA 交 EF 于 D， 求证：ADDC17、如图所示，以ABC 的三边为边在 BC 的同侧分别作三个等边三角 形ABD、 BCE、ACF，猜想：四边形 ADEF 是什么四边形，试证明你的结论.ABDCEFGABDCEF12图GFDEACB18、已知：P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PEDC，PFBC，E、F 分别为垂足. 求证：AP=EF.19、如图,ABC 为等边三角形，D、F 分别为 BC、AB 上的点，且 CDBF，以 AD 为边作等边 ADE. (1)求证：ACDCBF. (2)点 D 在线段 BC 上何处时，四边形 CDEF 是平行四边形且DEF=30.20、如图，AC、BD 是矩形 ABCD 的对角线，AHBD 于 H，CGBD 于 G，AE 为BAD 的平分线， 交 GC 的延长线于 E，求证：BD = CE；求值类：求值类：1.如图，矩形 ABCD 的对角线相交于