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1、第二章 静电场,本章重点：,本章难点：,静电势及其特性、分离变量法、镜象法,分离变量法（柱坐标）、电多极子,静电场的基本特点：,边值关系：,基本方程：,介质分界面上的束缚电荷：,电磁性质方程：,2.1 静电势及其微分方程,一、静电场的标势,二、静电势的微分方程和边值关系,三静电场的能量,本节主要内容,1静电势的引入,一、静电场的标势,2、电势差, 两点电势差与作功的路径无关,（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。,3、电荷分布在有限区几种情况的电势,（1）点电荷,（2）电荷组,（4）连续分布电荷,二、静电势的微分方程和边值关系,电势满足的方程,导出过程,2静电势的边
2、值关系,(1) 两介质分界面,由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。,（2）导体表面上的边值关系,三静电场的能量,一般方程： 能量密度,总能量,导出过程：,该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而 且存在于整个场中。,四、例题,同理,平面为等势面（Z = 0的平面）。,求近似值：,若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：,均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设 为束缚电荷，,第2章第2节,唯一性定
3、理,2.2 唯一性定理,、泊松方程和边界条件,2、唯一性定理的内容,3、唯一性定理的意义,主要内容,、泊松方程和边界条件,假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。设V内所求电势为 ，它们满足泊松方程,内边界条件为边值关系,注：在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体面上的边界条件可视为外边界条件。,二、唯一性定理,1均匀单一介质,令,由格林第一公式,介质分区均匀（不包含导体）,（证明见书P60）,区域V内电场唯一确定,均匀单一介质中有导体（证明见教材）,三、唯一性定理的意义,更重要的是它具有十分重要的实用价值。无
4、论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。,唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。,四、应用举例,半径为a的导体球壳接地 壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。,解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地,因而腔内场唯一确定。,不满足,已知点电荷产生的电势为,但它在边界上,要使边界上任何一点电势为0 ，,设,它满足,根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。,可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内
5、电荷Q有关。,解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。,假定电场也具有球对称性，则电势坐标与,导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设,带电荷Q 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介质中，求空间电势分布。,在导体边界上,3两种均匀介质（ 和） 充满空间，一半径 a 的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。,对称性分析：,在两介质分界面上：,试 探 解,确定常数,导体球面上面电荷分布：,束缚电荷分布：,其他实例：,第2章第3节,分离变量法,2. 3 拉普拉斯方程的解 分离变量法,、分离变量法的适用条件,4、应用实例（习题课）,3、解题步骤,2、拉普拉斯方程的解在坐标系中
6、的形式,1、空间 ，自由电荷只分布在某些介质（或导体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用拉普拉斯方程。,一、拉普拉斯方程的适用条件,2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。,一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即 ， 为已知自由电荷产生的电势， 不满足 ， 为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程,二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式,1、直角坐标,（1）令,令,（2）若,注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件， 将与某些正整数有关，它们可取1，2，3， ，只有对它们取和后才得到
7、通解。,柱坐标,3.球坐标,缔合勒让德函数（连带勒让德函数）,-为勒让德函数,三解题步骤,根据具体条件确定常数,选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；,分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解；,（1）外边界条件： 电荷分布有限,注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定 （接地 ），或给定总电荷 Q，或给定 。,（2）内部边值关系：介质分界面上,一般讨论分界面无自由电荷的情况,四应用举例,直角坐标系应用举例（补充例）,柱坐标系应用举例,球坐标系应用举例 （例1，例2，例3）,1、两无限大平行导体板，相距
8、为 ，两板间电势差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的电势 和 。,补充例,例1，例2，例3,1、两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的电势 和 。,(4) 定常数：,答案：,注意：,作业：1、2、补充题 3、4选作：6 *、补充题 1、2,第二章第四节,镜 象 法,求解泊松方程的难度,、镜象法的概念和适用条件,一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性，求解比较困难,2. 镜
9、象法的理论依据-唯一性定理,在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。,镜象法概念、适用情况,镜象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。,适用情况： 所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。 b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。 c) 给定边界条件,注意： a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在所求区
10、域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。,四、应用举例,接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。,从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。,讨论：（a）导体面上感应电荷分布,（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。,（c） 与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为镜象法（又称电象法）,（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力,解：（1）分析：
11、 因导体球接地故球的电势为零。根据镜象法原则假想电荷应在球内。因空间只有两个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在线上，即极轴上。,真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。,设,因 任意的,解得 ,（3）讨论：,导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷移到地中去了。, ， 因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。 球面感应电荷分布,（4）若导体不接地，可视为 分布在导体面上。不接地导体已为等势体，加上 还要使导体为等势体， 必须均匀分布在球面上。这时导体球上总电量 （因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的
12、电势）。,（5）若导体球不接地，且带上自由电荷 ，导体上总电荷为 ，此时要保持导体为等势体， 也应均匀分布在球面上。,等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体系，而不一定就是一个点电荷。,（6）导体球不接地而带自由电荷 时 所受到的作用力可以看作 与 及位于球心处的等效电荷的作用力之和。,设 ， ，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与 无关，与 正负无关）。当 时，F 0 ，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。,3有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为 a 和 b，求空间的电势。,假想电荷应在第 I 象限之外。要保证互相垂直的两个接地
13、导体板的电势同时为零，应当放几个电荷？,解：（1）分析：,x,y,O,（2）电势分布,4另外几种容易求解又常见的导体边界情况：,作业 P95: 8、9、11.,2.5 格林函数方法,三、用格林函数求解一般的边值问题,二、格林函数,内容提要,本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知，,本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。,2常用公式,点电荷的泊松方程：设电势为,单位点电荷产生的电势,空间区域V上的边界条件,2. 格林函数,上单位点电荷在无穷空间中激发的电
14、势,（1）无界空间中的格林函数,球坐标中,（偶函数）,显然满足点电荷泊松方程。,（2）上半空间的格林函数,（3）球外空间的格林函数,三、用格林函数求解一般的边值问题,，,给定，求V内,。,满足,（真空情况）,1. 第一类边值问题求解的格林方法,（1）V内有电荷分布,（2）二者的联系由格林第二公式给出,为格林函数,2第二类边值问题解的格林函数方法,，S上,给定，,（1）V内有电荷分布,（2）,（1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。,3格林函数方法求解讨论,（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由, 第
15、一类边值问题, 第二类边值问题,第二章第六节,电多极矩,2.6 电多极矩,二、电多极矩,一、电势的多极展开,三、电荷体系在外电场中的能量(相互作用能),主要内容,一、电势的多极展开,小区域电荷分布,一般若体电荷分布不均匀或区域不规则，积分十分困难（用计算机可数值求解）。,但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度远小于该区域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。条件 。,(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）,(2) 三元函数的麦克劳林展开,其中,小区域电荷分布产生的电势,二、电多极矩,展开式的物理意义,等效于坐标原点点电荷产生的电势。因此小电荷体系在电荷分布区外产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。,等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简单的体系为坐标原点附近（+，-，+，-）四个点电荷产生的电势,2. 电四极矩张量,重新定义：,*证明：,有9个分量,电四极矩有6个不同分量,电四极矩最简单体系举例：,
