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1、第三章 连续型随机变量,3.1 随机变量及其分布函数,例3 在区间4，10上任意抛掷一个质点，用表示这个质点与原点的距离，则是一个随机变量。若这个质点落在4,10上任一子区内的概率与这个区间长度成正比，求落在任意区间c,d(c,d 4,10)的概率,特别地,若c=d,则,所以,故此时讨论随机变量落在某一点的概率没意义 转而讨论 而,这就告诉我们,为了掌握 的统计规律,只要对任意 实数 知道 就够了,记为 .,(二)随机变量的分布函数,定义2.2 若是一个随机变量，对任何实数x，令F(x)=P( x) 称为F(x)是随机变量的分布函数或分布。 对任意实数ab,有 P(a b)=P( b)-P(
2、a),=F(b)-F(a),分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。,分布函数具有如下的性质：,F(x)是概率，取值在0与1之间,(2)F(x)是x的不减函数。, x所含基本事件个数不会随x增大而减少,(4)右连续性.,反之,满足这几条的函数一定也是某个随机变量的 分布函数.,由分布函数还可以计算下列概率, 见P107, (3.6)-(3.9),例1 用随机变量描述掷骰子的试验情况。,解：令表示掷一颗骰子出现的点数。,其分布函数为,当 x0 时， X x = ， 故 F(x) =0,例2,设 随机变量 X 的分布律为,当 0 x 1 时，F(x) = PX x = P(X=0) =,求 X 的
3、分布函数 F (x) .,当 1 x 2 时，F(x) = PX=0+ PX=1= + =,当 x 2 时，F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 1,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,的分布函数图,设离散型 r .v X 的分布律是,P X=xk = pk , k =1,2,3,F(x) = P(X x) =,即F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和.,一般地,则其分布函数,最后,介绍下指数分布.若 的分布函数为,则称这个分布函数是参数为 的指数分布.,则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称为概率密度 .,3.2 连续型随机
4、变量及其概率密度的定义,有,连续型随机变量的分布函数在 上连续,二、概率密度的性质,1 o,2 o,利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率,对于任意实数 x1 , x2 , (x1 0 )都是常数, 则称X服从参数为 和 的正态分布或高斯分布.,事实上 ,则有,曲线 关于 轴对称；,当x 时，f(x) 0.,f (x) 以 x 轴为渐近线,根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.,（5）,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,正态分布 的分布函数,正态分布由它的两个参数和唯一确定， 当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,
5、下面我们介绍一种最重要的正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,标准正态分布,的性质 :,事实上 ,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.,定理1,证,Z 的分布函数为,则有,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,于是,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,正态分布表,当 x 0 时, (x)的值.,若,若 XN(0,1),=0.97725,=0.6826,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集
6、中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,3 准则,3.3 多元随机变量及其分布,以下只研究二元随机变量。,如果 表示笛卡尔平面上的点的坐标,那么,就表示点 落在某个区间的概率.,并且有,如同一维分布函数,可以证明 也满足以下性质: 对 都是单调不减的; 对 都是右连续的;对任意的 ,有,并且还有,有性质：,对任意平面区域D,解：P(+ 1),同样地,P( ),分别称为二元随机变量(，)中关于及关于的 边缘分布
7、函数。,求导可得相应的概率密度：,是关于的边缘概率密度。,是关于的边缘概率密度。,解：当axb时,在其它点,0,随机变量的相互独立性,判断独立的充要条件：,例3 判断1与2是否相互独立？,解：已经得到,故1与2不是相互独立的。,例4 例2中的随机变量与是否相互独立？,可见，对任何x,y有,故与相互独立。,P(4-1x),两边求导,3.4 随机变量函数的分布,解：当x0时,=0,两边对x求导。,特别的,若 ,则,不难看出,上式表示的概率密度是下述概率密度当时的特例.,(其中 表示伽马函数).以(A)式为密度函数的分布 含有参数n, 常常称,例2告诉我们,标准正态分布的平方服从自由度为1的 卡方分
8、布.关于伽马函数的复习见下一页,它有性质：,特别地,n！,(一) 和的分布,设 是一个二维连续型随机变量,密度函数为 ,现在求 的分布,按定义为,如果 是独立的,则,由此得 的概率密度为,由对称性还可得,上两式给出的运算称为卷积,通常记作,例3见课本p133例3.13. 下面讨论伽马分布.,由课本p135例3.14知伽马分布具有可加性.,故卡方分布也具有可加性.,(二) 商的分布,设 是一个二维连续型随机变量,密度函数为 ,现在求 的分布,按定义为,所以 的密度函数为,例3.25见课本P136.,引理3.1 若r.v 相互独立, 又 是两个 连续或者逐段连续的函数,则 相互独立.,例, 设 服
9、从自由度为n的t分布, 求 的分布.解 假设,3.5 随机变量的数字特征和chebshev不等式,课本例3.22.3.23自己看.,定理1 若(x), -x, 则=f()的期望,推论 若(,) (x, y), -x, -y, 则=f(,)的期望,连续型随机变量的期望的性质和离散类似.p150,定义2 设 是一随机变量,数学期望存在,如果,存在, 则称 为随机变量 的 方差 ,记为 .,方差的平方根 又称为标准差或根方差.,例3,解,因此,均匀分布,一、切比雪夫不等式,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.,切比雪夫
10、,证,我们只就连续型随机变量的情况来证明.,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .,用切贝谢夫不等式估计：,7000,2100,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是下面要讨论的,协方差和相关系数,连续型随机变量的方差性质和离散一样,量E X-E(X)Y-E(Y) 称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即,
11、Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),一、协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,1.定义,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,D(X+
12、Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 随机变量和的方差与协方差的关系,特别地,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .,二、相关系数,为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .,在不致引起混淆时，记 为 .,相关系数的性质：,证: 由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数 b, 有,0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ),D(Y- bX)=,3. X和Y独立时， =0，但其逆不真.,由于当X和
13、Y独立时，Cov(X,Y)= 0.,故,= 0,请看下例.,事实上，X的密度函数,例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X,不难求得,因而 =0，,即X和Y不相关 .,但Y与X有严格的函数关系，,即X和Y不独立 .,本节最后讲下矩和协方差矩阵的概念,原点矩 中心矩,定义 设X和Y是随机变量，若,存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩,存在，称它为X的k阶中心矩,可见，均值 E（X）是X一阶原点矩，方差D（X）,是X的二阶中心矩。,3.5 条件分布与条件数学期望,因为连续型随机变量取单点值的概率为零,所以用分布 函数 来代替离散型时的分布函数 在这 里同样以 来代替离散时的 ,并且称为已知 发生的条件下 的条件分布函数, 并记作,可以证明,(A),称 为在已知 发生的条件下 的条件概率密度,大家可以比较下(A)式与离散型时的条件分布列多么类似:,定义1 如果r.v. 在 发生的条件下的条件密度函数 为 ,若,则称,为 发生的条件下的数学期望.,
