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1、1,第四章 弯曲内力,材料力学,2,41 平面弯曲的概念及梁的计算简图,一、弯曲的概念,1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线的曲率发生变化，这种变形称为弯曲。,2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。,3,3. 平面弯曲：杆件所受载荷位于同一纵向对称面内，并且变 形后轴线仍然和外力在同一平面内。,也称对称弯曲（如下图）,4,非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。 下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。,5,二、梁的计算简图,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计
2、算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。,1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。,3. 支座简化,6,固定铰支座 2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。,可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。,7,固定端 3个约束，0个自由度。 如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。,4. 梁的三种基本形式,简支梁,悬臂梁,8,外伸梁,5. 静定梁与超静定梁,静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不
3、可求出支反力或不能求出全 部支反力。,9,42 梁的剪力和弯矩,一、弯曲内力：,例1已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。,l,A,A,B,B,解：求外力,10,求内力截面法,A,Q,M,M,Q, 弯曲构件内力,1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。,C,C,11,2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。,3.内力的正负规定:,剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。,Q(+),Q(),Q(),Q(+),M(+),M(+),M(),M(),12,例2：求图（a）所示
4、梁1-1、2-2截面处的内力。,解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。,图（a）,二、例题,Q1,A,M1,图（b）,13,2-2截面处截取的分离体如图（c）,图（a）,q,Q2,B,M2,图（c）,14,三、结论：,截面上的剪力等于截面以左（或以右）所有外力的代数和。截 面以左向上（或向下）的集中力产生正的剪力，向下（或向上） 为负；分布载荷集中后按集中力处理。,截面上弯矩等于截面以左或以右所有的外力对截面中心的矩的 代数和。向上的集中力产生正的弯矩，向下的集中力产生负的 弯矩；外力偶产生的弯矩参照集中力的矩；分布载荷集中后按 集中力处理。,15,1. 内力方程：内力与
5、截面位置坐标（x）间的函数关系式。,2. 剪力图和弯矩图：,43 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,16,例3 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。,解：求支反力,写出内力方程,P,YO,L,根据方程画内力图,Q(x),P,x,17,解：写出内力方程,根据方程画内力图,L,q,Q(x),x, qL,18,解：求支反力,内力方程,q0,RA,根据方程画内力图,RB,19,一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系,对dx 段进行平衡分析，有：,44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用,q(x),q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,剪力图上某
6、点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,20,q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是：,21,二、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,22,简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。,例4 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。,特殊点: 端点、分区点
7、（外力变化点）和 驻点等。,23,左端点：,分区点A：,M 的驻点：,右端点：,Q,x,x,M,24,例5 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解：求支反力,左端点A：,B点左：,B点右：,C点左：,M 的驻点：,C点右：,右端点D：,q,qa2,qa,RA,RD,Q,x,qa/2,qa/2,qa/2,A,B,C,D,M,25,45 按叠加原理作弯矩图,一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。,26,二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此
8、原理 叠加方法,步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。,27,例6按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,=,+,28,三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。,29,例7 作下列图示梁的内力图。,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,0.5P,0.5P,0.5P,P,30,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,31,例8 改内
9、力图之错。,a,2a,a,q,qa2,A,B,Q,x,qa/4,qa/4,3qa/4,7qa/4,x,M,qa2/4,49qa2/32,3qa2/2,5qa2/4,32,例9 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。,Q(kN),x,1m,1m,2m,2,3,1,5kN,1kN,q=2kN/m,M(kNm),1.25,33,46 平面刚架和曲杆的内力图,一、平面刚架,1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。,2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通
10、常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。,34,例10 试作图示刚架的内力图。,P1,P2,a,l,A,B,C,N 图,Q 图,M 图,P1a+ P2 l,35,二、曲杆：轴线为曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。,例11 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。,P,解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面mm的位置。,A,B,36,P,A,B,M图,Q图,N图,2PR,P,P,37,一、内力的直接求法： 求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象，内力计算式如下，其中Pi 、 Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向下的外力。,剪力图和弯矩图,弯曲内力
11、习题课,38,剪力、弯矩与分布荷载间的关系：,q(x),二、 简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。,39,三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。,40,二、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,41,例1 绘制下列图示梁的弯矩图。,=,
12、+,=,+,2Pa,(1),42,(2),q,q,q,q,=,+,=,+,43,(4),50kN,20kNm,=,+,=,+,20kNm,20kNm,20kNm,20kNm,50kNm,44,y,z,h,b,解： （1）横截面的剪应力为：,例2结构如图，试证明： （1）任意横截面上的剪应力的合力等于该面的剪力； （2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩； （3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的剪应力的 合力由哪个力来平衡？,q,45,(2) 横截面上的合剪力为：,(3) 合力偶,46,(4)中面上的剪应力为：,纵面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡。,(5) 纵截面上的合剪力大小为：,47,结束,
