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1、应用弹性力学,授课教师：卢子兴教授 工作单位：固体力学所 学术兴趣：新型复合材料与结构强度 办公地点：新主楼C座908 答疑地点：新主楼C座909 参考书： 弹性力学简明教程（第三版）徐芝纶 高等教育出版社弹性理论基础（第2版）陆明万等 清华大学出版社,第一章 绪论,弹性力学的研究内容 弹性力学的应用 弹性力学发展简史 弹性力学基本假设 弹性力学的学习方法 矢量、张量简介,Chapter 6.1,主要内容,研究内容,弹性力学(亦称弹性理论)，是固体力学的一个分支学科，主要研究弹性体（具有弹性性质的理想物体，一般是复杂形状的构件、实体结构、板壳等）由于受外力、边界约束或温度改变等原因而引起的应力
2、、变形或位移。由于弹性力学是建立在一些基本假设基础之上的，是较为严格的理论，故人们常称之为数学弹性力学。 研究对象弹性体，主要研究其应力、变形或位移等效应。 引起变形等效应的原因：外力作用；边界约束（固定约束、弹性约束和边界上的强迫位移等）；温度变化等。,研究内容,与其它学科的关系 理论力学研究刚体（不考虑变形）的静、动力学（约束力、速度、加速度）。 材料力学研究杆状构件在拉、压、剪、弯、扭状态下的应力和位移。弹性力学一般平面问题、板、壳和实体结构等 的应力和位移分析。是学习后续课程：工程振动、塑性力学、断裂力学 和有限元方法等课程的重要基础。,弹性力学的应用,航空航天,弹性力学的应用,建筑,
3、阿联酋迪拜将建旋转摩天楼,世界上唯一的七星级宾馆,弹性力学的应用,美国世界贸易中心（World Trade Center）,弹性力学的应用,汶川8.0级大地震,弹性力学的应用,体育运动,弹性力学发展简史,启蒙时代 (1600-1700) 大师耕耘 (1700-1880) 体系形成 (1880-1950) 分支发展 (Since 1950),Galileo (1564-1642),弹性力学早期根植于数学和物理研究中，自牛顿时代以来逐渐分离出来。最初研究的动机是为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。例如，伽利略详细讨论了固体的变形和强度，研究了杆受单向拉伸断裂时的载荷，得出断裂载荷与杆长无关的结论
4、；历史上他首次把梁作为变形体来进行研究，正确地给出了梁的强度与几何尺寸的依赖关系。弹性关系的概念最先为英国科学家胡克提出，胡克定律，即“拉力与伸长成正比”发现于1660年，发表于1678年。胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未表达为应力和应变的形式。,启蒙时代 (1600-1700),弹性力学发展简史,弹性力学发展简史,Newton,启蒙时代 (1600-1700),弹性力学发展简史,虎克定律,Robert Hooke (1635-1703),启蒙时代 (1600-1700),早期弹性力学的发展记录了大师们的足迹。例如： 伯努利兄弟（瑞士）引入了应力和应变的概念。 1727年，欧拉（瑞士）给出应
5、力、应变之间的线性关系，即 。 1807年，托马斯杨发展了一个类似的概念，因此，现在通常称比例系数E为杨氏模量。 1774年，欧拉还分析了压杆失稳问题；作为表明弹性力学历史地位重要性的经典例子，压杆失稳的弹性力学分析触发了两个重要的数学概念，其一是“变分原理” ，其二是“分岔”的概念，它是非线性分析的中心内容。,大师耕耘 (1700-1880),弹性力学发展简史,欧拉逝世后不久，许多天才科学家聚集法国，其中的几位科学巨匠有纳维尔、泊松、库仑、柯西和圣维南。 1821年，纳维尔发表了题为“弹性体平衡和运动方程”的论文，给出了弹性体位移的控制方程形式。 1829年，法国科学家泊松考虑了单向拉伸时的
6、横向收缩问题，为纪念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被命名为泊松比。 对弹性力学作出卓越贡献的另一位法国科学家是柯西，1822年，他在三维情况下规范了应力的概念，其他贡献包括：提出将面力矢量和应力张量联系起来的柯西原理，提出主应力和主应变的概念，推广了胡克定律，以及建立了用应力分量表示的连续体运动方程和边界条件，还给出了几何方程 。,弹性力学发展简史,大师耕耘 (1700-1880),在十九世纪中后期，科学家们得到了大量的弹性力学基本解，并应用于工程实践或者解释自然现象。 在其中纳维尔的学生圣维南做出了卓越的贡献，1853年，他提出了半逆解法，并得到了梁的弯曲和非圆截面杆扭转问题的精确解
7、，从而检验了材料力学中在一定假设简化下得到的近似解的准确程度；此外，他提出了著名的圣维南原理，为数学家和工程师创造了无数机遇和挑战；值得一提的是十九世纪末德国科学家的突出贡献，使得德国取代法国成为世界的研究中心。,弹性力学发展简史,大师耕耘 (1700-1880),例如，电磁学的奠基人之一，物理学家基尔霍夫多才多艺，在弹性力学领域也颇有建树。1876年，他出版了著作“力学”，将弹性力学的应用领域扩展到一种新的几何构形 板，在直法线假设的前提下，他运用虚功原理和变分法导出了控制方程。 电磁学的另一奠基人，亥姆霍兹在弹性力学领域同样功勋卓著。他建立了弹性自由能的概念，还利用亥姆霍兹变换得到无限大弹
8、性体中的应力波解。,弹性力学发展简史,大师耕耘 (1700-1880),在这一时期，弹性力学的知识，形成了一套完整的体系。代表性著作是勒夫的“关于弹性力学数学理论的论述”，该部著作的问世同时标志着十九世纪整个数学物理的研究中心是弹性力学。 弹性力学在工程领域的广泛应用应归功于铁木辛柯。铁木辛柯师从空气动力学之父普朗特，他在弹性地基梁、铁木辛柯梁、板壳力学和弹性振动等方面都做出了巨大的贡献。铁木辛柯不仅是一位科学家、工程师，同时也是一名伟大的教育家。由他编写的教材几十年来一直在美国工学院使用。他同冯卡门一起促进了应用力学在美国的繁荣。,弹性力学发展简史,体系形成 (1880-1950),弹性力学
9、发展简史,在这一时期，弹性力学还有两个重要的发展。其一是冯卡门和他的学生钱学森及钱伟长解决的薄壁结构大挠度和屈曲的问题。第二个重大的发展来自于以柯洛索夫和穆斯海里什维里为代表前苏联学派。他们发展了弹性力学的复变函数方法。穆斯海里什维里在专著“数学弹性力学的几个基本问题”和“奇异积分方程”中对这一方法进行了阐述。,体系形成 (1880-1950),弹性力学发展简史,二十世纪的后半期，弹性力学的各个分支蓬勃发展。比如，弹性稳定性理论、断裂力学、有限元方法、损伤力学、细观力学和复合材料力学等等。,分支发展 (Since 1950),弹性力学基本假设,（1）连续性假设 （2）完全（线）弹性假设 （3）
10、均匀性假设 （4）各向同性假设 （5）小变形假设 （6）无初应力假设,弹性力学基本假设,（1）连续性假设弹性体是一种密实的连续介质，在整个变形过程中保持连续性。物体内的一些物理量，如应力、应变和位移等可用坐标的连续函数表示它们的变化规律。,连续系统,离散系统,弹性力学基本假设,（2）完全（线）弹性假设物体完全弹性的，服从Hooke定律:应力、应变关系是线性的（成正比），弹性常数不随应力或形变大小而变化。,应力,应变,应力,应变,1,2,线性弹性,非线性弹性,弹性力学基本假设,（3）均匀性假设物体由同一材料组成，不同点处的弹性性质处处相同，物体的弹性不随位置坐标而变化。 （4）各向同性假设物体内
11、同一点的弹性性质在所有方向上都相同。 （5）小变形假设位移和形变是微小的，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，考察物体的应变和位移时，可略去高阶小量，这对于方程的线性化十分重要。,弹性力学基本假设,（6）有的教材上还有无初应力假设，即去除外力后物体没有初应力。 以上的基本假设对于工程中不少问题是适用的，但对于一些问题的误差太大，就必须用另外的简化方案，但许多概念、基本理论仍然是共同的，弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法等课程的基础。,弹性力学的学习方法,1、弹性力学的公式推导比较繁复，公式的意义不明确，不便记忆，因此，初学者会感到困难。2、在学习中，不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主
12、要过程，对公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。3、由于基本方程是偏微分方程组，接触较少，理解有困难。偏微分方程组的直接求解是十分困难的，只有在边界条件比较简单时，可以解出，大多需要通过数值方法求解，因此基本方程的意义很大程度上是为将来的学习打基础。,弹性力学的学习方法,4、在推导过程中，善于利用小变形略去高阶小量，在边界条件中，要分清主要边界和次要边界，在次要边界上根据圣维南原理，用等效力系的条件进行替代。5、在每章的最后，附有习题，通过练习，加深对概念和方法的理解。,矢量、张量简介,由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，弹性力学的理论表述及
13、方程列式常采用张量分析的指标符号来表示。为此，这里也简单介绍一些矢量和张量的基本概念和知识。为了便于理解和说明，这些符号或公式都是在笛卡尔坐标系中使用的。需要说明，任何表示物理实体的物理量，包括标量、矢量和张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有的性质。然而，矢量或张量的分量则与坐标选择密切相关，但这些随坐标转换变化的分量间应满足一定的转换规律，这样才能反映矢量或张量本身与坐标选择无关的不变性。掌握了这个规律就能写出物理定律在任意坐标系中的一般表达式。,绪论,矢量、张量简介,力学中常用的物理量：,1.标量:只有大小、没有方向，与坐标系选 择无关，如温度T、时间t、密度等。标量无下标。,
14、绪论,2.矢量:有大小,又有方向,如矢径 、 位移 、力 等，矢量的符号记法有 分解式记法和分量记法。如矢量的分解式 记法为：,矢量、张量简介,3.张量：有大小，并具有多重方向性的量。如应力 和应变 是二阶张量，具有二重方向性，即应力分量的值与截面法线方向及应力分解方向有关。二阶张量的符号记法为,二阶张量的每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起的基矢量（并矢）表示。 矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。,矢量、张量简介,求和约定哑指标(Einstein),求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项 在该指标的取值范围内遍历求和，且称该重复下标为哑指标。由于哑 指标仅
15、表示要遍历求和，因此，哑标可以成对的任意换标。,矢量、张量简介,自由指标克罗内克符号（Kronecker）,一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每 项中出现非重复的而且为相同字母的指标，则称其 为自由指标。自由指标表示：若轮流取该指标范围 内的任何值，关系式始终成立。,矢量、张量简介,若 是互相垂直的单位矢量，则,它表示两个基矢量的点积。, ij符号的应用,ij 也称为换标符号,排列（或置换）符号,矢量、张量简介,当i，j，k为1，2，3的偶排列 当i，j，k为1，2，3的奇排列 当i，j，k不为1，2，3的排列,即：,根据定义它对任何两个指标都是反对称的，而三个指标轮流换位时，其值不变
16、。,矢量、张量简介,排列符号的作用也可以简化公式书写，如：,（共六项，三项为正，三项为负）。,矢量、张量简介,设元素为 Aij 的 A 的行列式为：,矢量、张量简介,行列式交换行或列，则符号发生变化，即：,对于行列式交换行，则可用置换符号表示为：,矢量、张量简介,交换列，则,同时交换行和列，则,矢量、张量简介,若取 ，则,矢量、张量简介,向量的点积：,二阶张量的点积：,矢量、张量简介,向量的叉积：,二阶张量的叉积：,矢量、张量简介,梯度,哈密度算子：,标量 f 的梯度定义：,矢量、张量简介,矢量场的左梯度,张量场的左梯度,梯度,矢量、张量简介,矢量场的左散度,张量场的左散度,散度,矢量、张量简介,矢量场的左旋度,张量场的左旋度,旋度,矢量、张量简介,拉普拉斯算子,标量场中的拉普拉斯算子定义为标量场 ( xi)的梯度的散度，是一个标量，即,
