有限元基本原理与概念

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1、,第六章 用有限单元法解平面问题,第六章 用有限元法解平面问题,第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵,第四节 单元的应变列阵和应力列阵,第三节 单元的位移模式与解答的收敛性,第二节 有限单元法的概念,第一节 基本量及基本方程的矩阵表示,概述,第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,第六章 用有限单元法解平面问题,第六章 用有限元法解平面问题,例题,第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程,第十节 计算实例,第九节 计算成果的整理,第八节 解题的具体步骤 单元的划分,第七节 结构的整体分析结点平衡方程组,习题的提示与答案,教学参考资料,第六章 用有限单元法解平面问题,第六章 用有限单元法

2、解平面问题,1.有限元法（Finite Element Method）,FEM,2. FEM的特点,概述,（1）具有通用性和灵活性。,首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。,简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。,第六章 用有限单元法解平面问题,简史,3. FEM简史,（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。,（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。,1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。,FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。,第六章 用有限单元法解平面问题,简史,有限单元法的形成与发

3、展,在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。

4、1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。,第六章 用有限单元法解平面问题,简史,数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ri

5、tz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。,第六章 用有限单元法解平面问题,导出方法,我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年

6、开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。,第六章 用有限单元法解平面问题,简史,算法与有限元软件,从二十世纪60年代中期以来，大量的理论研究不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方法。目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：,另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autofor

7、m，焊接与热处理分析软件SysWeld等。,第六章 用有限单元法解平面问题,简史,有限元应用实例,有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学。,转向机构支架的强度分析（用MSC/Nastran完成）,第六章 用有限单元法解平面问题,导出方法,有限元应用实例,金属成形过程的分析（用Deform软件完成） 分析金属成形过程中的各种缺陷。,型材挤压成形的分析。型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭曲。,螺旋齿轮成形过程的分析,第六章 用有限单元法解平面问题,导出方法,有限元应用实例,结构与焊缝布置,焊接残余应力分析（用Sysweld

8、完成）,焊接过程的温度分布与轴向残余应力,第六章 用有限单元法解平面问题,导出方法,有限元应用实例,淬火3.06 min 时的马氏体分布,淬火3.06 min 时的温度分布,第六章 用有限单元法解平面问题,6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示,本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。,采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。,第六章 用有限单元法解平面问题,基本物理量：,体力:,基本物理量,位移函数:,应变:,应力:,结点位移列阵:,结点力列阵:,面力:,第六章 用有限单元法解平面问题,物理方程:,FEM中应用的方程：,几何方程:,应用的方程,其中D为弹性矩阵，对于平面应力问

9、题是:,第六章 用有限单元法解平面问题,-结点虚位移; -对应的虚应变。,应用的方程,i,j,虚功方程:,其中:,在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。,第六章 用有限单元法解平面问题,3.整体分析。,6-2 有限单元法的概念,FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。 其理论基础是分片插值技术与变分原理。,FEM的概念,1.将连续体变换为离散化结构；,2.单元分析；,FEM的分析过程：,第六章 用有限单元法解平面问题,结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件

10、）之间除结点铰结外，没有其他联 系（图（a）。,弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。,结构离散化,1. 结构离散化将连续体变换为离散化结构,第六章 用有限单元法解平面问题,将连续体变换为离散化结构（图（c）： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元， 并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构 成所谓离散化结构。,结构离散化,第六章 用有限单元法解平面问题,图（c）与图( a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。,结构离散化,例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。,第六章 用有

11、限单元法解平面问题,2.单元分析,求解方法,每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。,取各结点位移 为基本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用 来表示。,第六章 用有限单元法解平面问题,（1）应用插值公式, 由单元结点位移 ，求单元的位移函数,求解方法,这个插值公式称为单元的位移模式，为：,单元分析的主要内容：,第六章 用有限单元法解平面问题,（4）应用虚功方程，由单元的应力 ， 求出单元的结点力，表示为,（3）应用物理方程，由单元的应变 ， 求出单元的应力，表示为,（2）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出

12、单元的应变，表示为,求解方法,第六章 用有限单元法解平面问题,单元对结点的 作用力，与 数 值相同,方向相反， 作用于结点。,-结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。,求解方法,第六章 用有限单元法解平面问题,（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为,求解方法,第六章 用有限单元法解平面问题,为已知值, 是用结点位移表示的值。 通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力。,各单位移置到i 结点上的结点荷载 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；,求解方法,3.整体分析,各单元对i 结点的结点力,作用于结点i上的

13、力有：,第六章 用有限单元法解平面问题,求解方法,3.整体分析,2.对单元进行分析,1.将连续体变换为离散化结构,归纳起来，FEM分析的主要步骤：,（1）单元的位移模式,（2）单元的应变列阵,（4）单元的结点力列阵,（5）单元的等效结点荷载列阵,建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。,（3）单元的应力列阵,第六章 用有限单元法解平面问题,思考题,1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性力学方法求解，为什么？,2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？,第六章 用有限单元法解平面问题,应用

14、插值公式，可由 求出位移 。,首先必须解决：由单元的结点位移 来求出单元的位移函数,FEM是取结点位移 为基本未知数的。问题是如何求应变、应力。,这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式。,6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性,位移模式,第六章 用有限单元法解平面问题,插值公式（a）在结点 应等于结点位移值 。由此可求出,泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。所以三角形单元的位移模式，可取为：,三角形单元,（a）,第六章 用有限单元法解平面问题,将式（a）按未知数 归纳为:,其中 包含,三角形单元,或用矩阵表示为:,（b）,第六章 用有限单元法解平面问题,N 称为形（态）函数

15、矩阵。,三角形单元,（c）,第六章 用有限单元法解平面问题,A为三角形 的面积（图示坐标系中， 按逆时针编号），有：,其中:,三角形单元,第六章 用有限单元法解平面问题,三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以 上的项，因而其误差量级是 且其中只包含 了 的1次项，所以在单元中 的分布如图 （a）所示， 的分布如图（b）、（c）所示。,三角形单元,(a),(b),(c),1,第六章 用有限单元法解平面问题,所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：,FEM中以后的一系列工作，都是以位移 模式为基础的。,收敛性条件,第六章 用有限单元法解平面问题,因为当单元 时，单元中的位移和应变都趋近于基本量刚体位移和常量位移。,（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。,收敛性条件,（2）位移模式必须能反映单元的常量应变。,第六章 用有限单元法解平面问题,收敛性条件,可见刚体位移项在式（a）中均已反映。,与刚体位移相比，,将式（a）写成,第六章 用有限单元法解平面问题,（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界ij 上， 之间均为线性变化，也为连续。,