基于状态空间模型的控制系统设计

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1、第五章 基于状态窨模型的 控制系统设计,5.1 概述 5.2 极点配置 5.3 线性二次型最优控制 5.4 解耦控制 5.5 状态观测器设计 5.6 包含状态观测器的状态 反馈控制系统,5.1 概述,考虑线性、定常、连续控制系统，其状态空间描述为：,系统设计问题就是寻找一个控制作用u(t)，使得在其作用下系统运动的行为满足预先所给出的期望性能指标。设计问题中的性能指标可分为非优化型性能指标和优化型性能指标两种类型。,非优化型指标是一类不等式型的指标，即只要性能指标值达到或好于期望性能指标就算实现了设计目标。,以一组期望的闭环极点作为性能指标，相应的设计问题称为极点配置问题； 以使一个多输入多输

2、出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的设计问题称为解耦控制问题；,优化型指标则是一类极值型的指标，设计目标是要使性能指标在所有可能值中取得极小（或极大）值；,性能指标常取为一个相对于状态x(t)和控制u(t)的二次型积分性能指标，其形式为：,设计的任务是确定一个控制u*(t) ，使得相应的性能指标Ju*(t)取得极小值。,从线性系统理论可知，许多设计问题所得到的控制规律常具有状态反馈的形式。但是由于状态变量为系统的内部变量，通常并不是每一个状态变量都是可以直接量测的。这一矛盾的解决途径是：利用可量测变量构造出不能量测的状态，相应的理论问题称为状态重构问题，即状态观测器问题。,

3、以使系统的输出y(t)无静差地跟踪一个外部信号yr(t)作为性能指标，相应的设计问题称为跟踪（或伺服）问题； 以使系统的状态x(t)或输出y(t)）在外部扰动或其他因素影响下保持其设定值作为性能指标，相应的设计问题称为调节问题。,5.2极点配置,在状态反馈律 作用下的闭环系统为：,状态反馈极点配置：通过状态反馈矩阵K的选取，使闭环系统的极点，即 的特征值 恰好处于所希望的一组给定闭环极点的位置上。,线性定常系统可以用状态反馈任意配置极点的充分必要条件是：该系统必须是完全能控的。所以，在实现极点的任意配置之前，必须判别受控系统的能控性。,5.2.1单输入系统的极点配置,Bass-Gura算法：设

4、受控系统的闭环特征多项式分别为：,则状态反馈阵K为：,函数bass_pp( ) 调用格式为: K=bass_pp(A,b,p),其中:(A,b)为状态方程模型, p为包含期望闭环极点位置的列向量 返回变量K为状态反馈行向量,Ackermann算法：状态反馈阵为,控制系统工具箱中acker( )函数的调用格式为： K=acker(A,b,p),acker( )函数可以求解多重极点配置的问题，但不能求解多输入系统的问题。,5.2.2多输入系统的极点配置,疋田算法：,设 ，表示闭环系统的极点及其相对应的特征向量。,假定 与A阵的特征值相异，且 有 即 则,令 ， ，于是 ，对于给定 ，可以求出,一般

5、说来 可逆，否则重新选择 。,疋田算法的具体步骤：首先，适当选择 ，从而计算特征向量 再确定状态反馈阵,pitian( ) 函数的调用格式：,K=pitian(A,B,p),的选取方法是：选取 中每前r列构成r阶单位阵，直至到第n列,place( )函数调用格式为： K=place(A,B,p) K,prec,message=place(A,B,p),控制系统工具箱中place( )函数是基于鲁棒极点配置的算法，用来求取状态反馈阵K，使得多输入系统具有指定的闭环极点P，即 。,prec为闭环系统的实际极点与期望极点P的接近程度，prec中的每个量的值为匹配的位数。如果闭环系统的实际极点偏离期望

6、极点10%以上，那么message将给出警告信息。函数place( )不适用于含有多重期望极点的配置问题。,例5-1：,5.2.3 用极点配置设计调节系统,例5-2：已知一个倒立摆系统的数学模型为：,其中，状态变量为 ，输出变量为 ，摆的质量 ，小车的质量 ，摆的长度 。,设计要求：对于任意给定的角度 和（或 ）角速度的初始条件，设计一个使倒立摆保持在垂直位置的控制系统。同时要求在每一控制过程结束时，小车返回到参考位置x=0。而指标要求为：闭环主导极点的阻尼 ，调整时间秒 。,解：1、将给定 的的值代入上式，得到：,2、状态反馈阵K的求取： 检验该系统是否状态完全能控。,系统是完全能控的,根据

7、性能指标选择所期望的闭环极点位置。,3、求闭环系统对初始条件的响应：,假设初始条件为 ，而闭环系统的状态空间描述为 ，,摆将返回到参考位置，其结果是令人满意的。,5.2.4 用极点配置设计伺服系统,含有积分器的I型伺服系统设计,假定：r=m=1；前馈通道含有一个积分器；参考输入v是阶跃信号,状态反馈控制系统：,设计I型伺服系统，使得闭环极点配置到所期望的位置上。所设计的将是一个渐近稳定系统， 将趋于常值， 将趋于零。,在稳态时,I型伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件e(0)，设计一个渐近稳定的调节系统，使得e(t)趋于零。,如果受控系统是状态完全能控的，则通过指定的所期望的特征值 对

8、 阵采用极点配置的方法来确定K 阵。,x(t)和u(t)的稳态值求法:,在稳态时，有,所期望的特征值均在s复平面的左半部，所以 阵可逆。从而，,同理:,pp_sifuI( )函数的调用格式为： K,x_ss,y_ss,u_ss=pp_sifuI(A,b,c,p,v),其中：v为参考阶跃输入信号的幅值。而返回的变量K为反馈增益阵，x_ss,y_ss,u_ss分别为稳态值,例5-3：设系统的传递函数为： 设计一个I型伺服系统使得闭环极点为 ，设参考输入 。,不含有积分器的I型伺服系统设计,如果系统是0型系统，则I型伺服系统设计的基本原则是在误差比较器和系统间的前馈通道中插入一个积分器,假定：r=m

9、=1；前馈通道不含积分器；受控系统是完全能控的，且其传递函数在原点处没有零点。且,状态反馈控制方案：,设计一个渐近稳定系统，使得 分别趋于常值。因此，在稳态时,当稳态时,由定义：,设计I型伺服系统的基本思想：设计一个稳定的(n+1)阶调节系统，对于给定的任意初始条件e(0)，将使e(t)趋于零。,的稳态值的求取：,由于在稳态时，,pp_sifu0( ) 函数的调用格式为： K,kI,x,y,t,x_ss,y_ss,u_ss,zeta_ss=pp_sifu0(A,b,c,p,v,t),t为时间向量，KI为积分增益常数，x,y分别为所设计系统的状态、输出响应向量，zeta_ss为稳态值,例5-4：

10、考虑例5-2所示的倒立摆系统， 设计要求：希望尽可能地保持倒立摆垂直，并控制小车的位置。 指标要求：在小车的阶跃响应中，约有45秒的调整时间和15%16%的最大超调量。,解：为控制小车的位置，需建造一个I型伺服系统。由于安装在小车上的倒立摆系统没有积分器，因此将位置信号x反馈到输入端，并且在前馈通道中插入一个积分器，并将小车的位置作为系统的输出，即 。,1、根据指标要求确定闭环主导极点：,选择期望的闭环极点为：,2、确定倒立摆伺服系统的设计参数:,在任意的设计问题中，如果响应速度和阻尼不十分满意，则必须修改所期望的闭环极点，并确定一个新的矩阵 。必须反复进行计算机仿真，直到获得满意的结果为止。

11、,5.3 线性二次型最优控制,考虑受控系统，其性能指标为：,线性二次型最优控制问题，简称为LQ（Linear Quadratic）问题。就是寻找一个控制u*(t)，使得系统沿着由指定初态x0出发的相应轨线x*(t) ，其性能指标J取得极小值。,有限时间LQ问题:终端时刻tf是固定的,且为有限值 无限时间LQ问题: tf=,，,调节问题 状态调节问题 设计最优控制u*(t) ，使在其作用下把系统由初始状态x0驱动到零平衡状态xe= ，同时性能指标J取得极小值。 输出调节问题 跟踪问题 要求在使系统的输出y(t)跟踪已知的或未知的参考信号yr(t)的同时，使某个相应的二次型性能指标J为极小。,5.

12、3.1无限时间LQ状态调节问题,对于受控系统,其无限时间LQ状态调节问题中的性能指标为：,为能控的,为能观测,对于无限时间LQ状态调节问题，u*(t)为其最优控制的充分必要条件是其具有形式：,是唯一的常数阵。,为下述Riccati矩阵代数方程的正定对称解阵：,设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。,关于无限时间LQ状态调节问题的鲁棒性有以下结论： 对于无限时间定常LQ状态调节问题的最优调节系统，取加权阵 则系统的每一个反馈控制回路均具有：（1）至少的相角裕度 ；（2）从0.5到无穷大的幅值裕度。,，当N缺省时，默认取 N=0,控制系统工具箱还提供了使用Schur法的线性二次型调节问题设计的函数

13、lqr2( ),例5-5：考虑例5-2所示的倒立摆系统，按不含积分器的I型伺服系统设计的方法， 倒立摆系统就变成了一个闭环系统，其误差方程为：,要求：试确定反馈增益阵 ，使得性能指标 取得极小。式中选取：,对于受控系统,其无限时间LQ输出调节问题中的性能指标为：,对于无限时间LQ输出调节问题，u*(t)为其最优控制的条件是其具有形式：,是唯一的常数阵。,5.3.2无限时间LQ输出调节问题,为下述Riccati矩阵代数方程的正定对称解阵：,设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。,例5-6：设受控系统的状态空间表达式为： 而性能指标为： 试求使系统的性能指标J为极小值时的最优反馈增益矩阵K。,5.

14、3.3 最优跟踪问题,lqr_c( )函数的调用格式为： P,g,K1,K2=lqr_c(A,B,C,Q,R,yr) 其中A，B，C为受控系统的状态空间描述，Q，R为加权阵，yr为参考输出向量,5.4 解耦控制,decoupling( ) 函数实现动态解耦控制算法，decoupling_s ( )函数实现静态解耦控制算法，其调用格式为： G,K,L=decoupling(A,B,C), vv,K,L= decoupling_s(A,B,C,p,dd),5.5 状态观测器设计,5.5.1 全维状态观测器设计,例5-10：同例5-2的状态空间模型,并将两个极点配置到s=-1,s=-2。,5.5.2

15、降维状态观测器设计,jiaweiguanceqi()函数实现上述降维状态观测器的设计，其调用格式为： L,Az,By,Bu,Cz,Dy=jiangweiguanceqi(A,B,C,R,p),5.6 包含状态观测器的 状态反馈控制系统,包含状态观测器的状态反馈控制系统的设计分两步走。 第一步：按照系统性能指标要求（如：极点配置、线性二次型最优控制、解耦控制等要求），有选择地采用前面几节所讨论的各种方法加以设计，从而满足其系统要求； 第二步：在不考虑第一步设计的存在的情况下，独立地设计状态观测器，使之满足其所期望的极点位置要求。 在第二步中，可以采用5-5节所介绍的方法加以设计与实现状态观测器。,5.6.1 基于全维状态观测器的控制器,5.6.2 基于全维状态观测器的调节器,控制系统工具箱中的函数reg( )，用来设计基于全维状态观测器的调节器，其调用格式为： Gc=reg(G,k,l) 其中G为受控系统的状态空间表示，k,l分别表示状态反馈的行向量k和全维状态观测器的列向量l。Gc为基于全维状态观测器的调节器的状态空间表示。,