数学建模国一

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1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填

2、写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： C 乙 05104 所属学校（请填写完整的全名）： 山东英才学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 谢凯兵 2. 修敬檑 3. 冯兴欣 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李传杰 娄万东 日期： 2011 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由

3、全国组委会评阅前进行编号）：1企业退休职工养老金制度的改革摘要现在我国养老保险改革正处于过渡期，进一步健全和完善养老保险制度具有重大现实意义。以山东省某企业职工的养老金替代率和养老基金收支平衡为研究课题，本文建立了一般的精算模型和考虑职工收入梯度的“收入分级”精算模型。在此基础上，本文对影响替代率及收支平衡的风险影响因素进行了定性和定量分析，提出了有利于兼顾目标替代率和基金收支平衡的建议。针对问题一，本文首先根据原始数据走势特征建立了三种不同预测模型。通过拟合检验，并与发达国家平均工资水平对照，最终确定正交多项式最小二乘法为最佳预测函数。进而得到 2011 年-2035 年山东省职工的年平均工

4、资的预测值，结果合理。针对问题二，我们首先依据附件 2 数据求出职工缴费指数的参考值，建立了一般养老金替代率模型。在此基础上引入“收入分级”概念，将职工按照工资水平分为低等收入、中等收入、高等收入三类，对模型进行了改进。得到了三类收入级别企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始交养老保险一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65岁）的养老金替代率。经过敏感性分析，定量求出了退休年龄和缴费年限对替代率的影响。针对问题三，根据现值和终值的计算原理建立养老基金收支平衡精算模型，以职工个体为研究对象计算个人养老基金缺口。结合“收入分级”模型计算得到某职工2000 年起从 30 岁开始交养

5、老保险一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁），75 岁死亡的基金缺口以及收支平衡点。针对问题四，本文在已有模型中提取了替代率及收支平衡的风险影响因素，并对主要因素进行了分析，提出了有利于兼顾目标替代率和基金收支平衡的建议。本文的特色是建立了区分职工收入梯度的“收入分级”养老金精算模型。最后以兼顾替代率和收支平衡为目的，提出建立多目标决策模型的思路，不过时间限制未能实现。 关键词关键词 多项式拟合 最小二乘 养老金精算 替代率 收支平衡 风险因素 多目标决策211 问题重述问题重述现在我国养老保险改革正处于过渡期，养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老

6、龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。需要解决的问题：需要解决的问题：（1）预测预测：以 1978-2010 年山东省职工历年平均工资统计数据为参考，建立预测模型，预测 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。（2）养老金替代率的计算养老金替代率的计算：建立替代率模型，并计

7、算职工自 2000 年起分别从30、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁、60 岁、65 岁）这六种情况下的养老金替代率。在这个问题中，允许把该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作职工缴费指数的参考值。（3）该企业某职工养老保险基金缺口的计算该企业某职工养老保险基金缺口的计算：该企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁、60 岁、65 岁） ，退休后一直领取养老金直到 75 岁死亡。需要建立基金缺口模型，并计算三种情况下的职工养老保险基金缺口，进而得到收支平衡的临界点。（4）影响因素分析影响因素分析：提取养老保险金的影响因素进行分析。

8、采取合理的措施，既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡。22 问题分析问题分析2.1 问题一的分析我们首先查找文献来了解中国经济近年发展情况。中国经济自 1991 年开始出现回升,GDP 增长从 1990 年 3.9%上升到 8.0%。改革开放以来中国整体国民经济体系开始转向工业化发展，以这样的趋势中国经济在未来几十年内还会持续上升。故有理由认为中国企业职工的工资水平也会随着经济的持续增长而上升。根据附件 1“山东省职工历年工资统计表”给出的数据，画出散点图，通过观察图像特征即可选择合适的预测模型。可供选择的预测模型包括指数模型，多项式模型，3差分阻滞模型等。在附件 1 数据中留出少

9、量数据用于拟合检验。若吻合度较高，即可用于拟合山东省职工历年工资随时间 变化的函数曲线。通过模型计算得到得 2011-t2035 年平均工资的预测值，还需进一步分析是否符合实际。 2.2 问题二的分析若将 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值作为职工缴费指数的参考值，而这些参考值在一个五年的时间段内为常数。本应逐年计算的缴费指数得到了简化，进而减少了 附件三给出的“本人指数化月平均缴费工资 ”公式的计算量。首先利用“养老金=基础养老金+个人账户养老金 ”的公式求出职工刚退休时的养老金，然后求出职工退休前的工资，即可 建立替代率精算模型。职工自 2000 年起分别从 30、4

10、0 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁、60岁、65 岁） ，这六种情况相当于对模型中的退休年龄和缴费年限做出不同设定。对六种情况的替代率计算结果进行敏感性分析，我们可以得到退休年龄和缴费年限对替代率的影响。以此可印证现在呼声愈高的“适当延长退休年龄”措施是合理的。注意到企业职工依据个人工资与平均工资的比值不同可分为：低等收入、中等收入、高等收入，我们可以建立起新的考虑“收入分级”的替代率精算模型。2.3 问题三的分析根据现值和终值的计算原理，养老保险基金的缴费收入在满足各年养老金发放之后在目标期末结余为零，则可看做养老保险基金在目标期内实现了收支平衡。养老保险基金的收支不平衡则是指当

11、养老保险基金在目标期末出现收大于支的结果，即出现了缺口。建立收支平衡模型时假定统筹账户基金不计息，个人存储账户以一定利率计息。同时注意到养老金随着经济水平的提高而增长，需要考察养老金及其增长率的变化趋势。2.4 问题四的分析影响替代率和收支平衡的风险影响因素很多，包括退休年龄，工资增长率，缴费年限，缴费率，利率，死亡极限年龄等。我们将对主要因素逐一分析，尤其需要重点讨论工资增长率，缴费年限和退休年龄。若要兼顾目标替代率和收支平衡，问题转化为多目标决策。可以采用目标排序法来确定替代率和收支平衡在决策中的重要性差异，进而建立多目标决策模型。需要注意的是，替代率和基金缺口量纲不同，需做无量纲化处理。

12、433 假设与说明假设与说明1)假设研究对象为标准人，即个人工资增长率等于社会工资增长率2)假设个人账户储存额以利率 3%计息3)假设不考虑男女职工的性别差异4)假设职工不间断缴费，无需缴纳基金管理费5)假设不考虑隐形债务及其通货膨胀44 符号的使用符号的使用：职工刚退休时的 养老金P：基础养老金BC：个人账户养老金PC：个人账户储存额PQ：全省前一年度平均工资1C职工退休前一年的 工资1M：替代率T：计发月数：退休前一年龄分段（步长为五年）职工的参考缴费指数i：是距离退休的时间L：初缴费年度全省在岗职工月平均工资oc：全省在岗职工平均工资增长率k：退休后第 j 年的养老保险缺口jE：退休后第

13、 j 年累计领取的养老金数额jG：退休后第j年养老金账户余额jR：职工退休第 j 年时的年龄jt：职工退休年龄：养老金的年平均增长率55 预测模型的建立与求解预测模型的建立与求解5.1 图像处理5将附录一数据绘制散点图（图 5.1）图 5 .1 1978-2000 年山东省平均工资散点图1978-2000年山东省职工年均工资散点图0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 1975198019851990199520002005系列15.2 预测模型建立以 1978 年作为初始值，t 为自变量、平均工资为因变量分别建立指数拟合模型、

14、差分阻滞模型、正交多项式最小二乘模型。5.2.1 指数模型建立指数函数模型：（5.1）rt texX0用MATLAB绘制出其函数曲线（图5.2），并拟合得到参数值（相关程序代码见附录 1），则有8074.4190x1319. 0r（5.2）t teX1319. 08074.419图 5.2 指数拟合曲线65.2.2 差分模型（5.3） , 2 , 1 , 0,11kNyryyyk kkk5.2.3 正交多项式最小二乘拟合模型设山东省平均工资关于时间 t 的变化函数为（5.4）jmji jitatP 0)(其中32 分别代表 1978-2010 各年，即记 1978 年为第 1 年，, 2 ,

15、1t。1978 真实年份t已知一组数据，。代表第年指标 的真实数据。求参数,使得)(,i kkytktk i kykija（5.5） nkmji kj ki jnki kkiiytaytMs120)(21有最小值。由多元函数取得极值的必要条件得（5.6）0)(i ji asmj, 2 , 1 , 0即有未知量为的正规方程组maaa,.,21（5.7） nkj kmji kj ki jtyta10)(0观察离散图可判断曲线走向符合二次多项式特征。设关于时间 的函数为_ Mt7（5.8）j k ojjtatM 2 )3(_已知相应的一组数据分别为，。附件中最 3,kkyt566, 1632, 216614,28后五个数据留作模型检验。求参数，使得210,aaa（5.9） 281)3(2)3( 2)3( 1)3( 03 kkkkytataas有最小值。MATLAB 编程求解4，得 7 .86a5 .498b7 .3721c（5.1