数学建模_机械加工问题41组-A 题

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1、1工厂计划工厂计划摘要：摘要：本文以工厂所获得总收益为研究对象，采用的是线性规划分析方法， 通过求解不同产品的生产计划安排以及获得的总利润，解决工厂为获取最大总 收益的生产计划问题。 问题一是求产品生产的最大收益问题，产品的总收益=销售产品数量产品 价格库存量库存保管费.以每月每种产品的销售量和生产量及工厂获得的最 大收益为目标函数，再结合约束条件，利用Lingo求得的最大收益的最优解为 93656.43元，此时生产计划如表表4 4。对于价格的变化对收益的影响由于没有价格 变化与销售量之间的统计数据，所以不能用以拟合确定需求函数，只能得到理 论模型。而引入新机床通过利用lingo软件的灵敏度分

2、析后，得出各种机床的工 作剩余时间表如表表5 5，通过对表表5 5的工作剩余时间数及增加机床时间先后的优先 级分析后，在不考虑增加机床成本的情况下，发现在一定范围内增加一定机床 的数量可以增加总的收益，而当增加一台镗床和一台刨床可以使得收益最大为 115486.4元，比原来最大收益增加21829.97元。 对于问题二，通过表表4 4表表5 5及表表6 6的数据及问题1中得到的结果进行分析后， 通过不断地演算，定性的得到工厂维修机床的最佳检修时间安排表如表表7 7，最后 用如问题1的数学模型，使用lingo软件计算出工厂生产的产品的最大收益为 105591.7元，比原本的维修方案多了11935.

3、27元，表明新的维修方案可以给工 厂带来更高的利润回报。 通过对题目的解答后，可以认为对工厂生产产品的合理安排将会实现资源 的合理配置并且能为工厂带来更大的利润回报，并且减少了资源浪费和工厂运 营成本，为建立节约型社会做出了贡献，所以在社会中具有很高的现实意义。关键词关键词： 线性规划 约束 lingo 灵敏度 21 1问题重述问题重述某厂拥有 4 台磨床、2 台立式钻床、3 台卧式钻床、一台镗床和一台刨床， 用以生产 7 种产品，记作 P1 至 P7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用 之剩余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于表 1：表表 1 1 产品用时表产品用时

4、表 产品P1P2P3P4P5P6P7 收益106841193 磨0.50.70000.30.20.5 垂直钻孔0.10.200.300.60 水平钻孔0.200.80000.6 镗孔0.050.0300.070.100.08 刨000.0100.0500.05本月（一月）和随后的 5 个月中，下列机床停工维修： 一月 磨床一台 二月 卧式钻床 2 台 三月 镗床一台 四月 立式钻床一台 五月 磨床一台，立式钻床一台上台下 六月 刨床一台，卧式钻床一台 各种产品各月份的市场容量如表 2：表表 2 2 市场容量表市场容量表 产品P1P2P3P4P5P6P7 一月 50010003003008002

5、00100 二月 6005002000400300150 三月 30060000500400100 四月 2003004005002000100 五月 010050010010003000 六月500500100300110050060每种产品存货最多可到 100 件。存费每件每月为 0.5。现在无存货。要求到 6 月底每种产品有存货 50 件。工厂每周工作 6 天，每天 2 班，每班 8 小时。不需 要考虑排队等待加工的问题。 1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的产量？考虑价格的某 种变化及引入新机床对计划和收益的影响。 注意，可假设每月仅有 24 个工作日。 2、在工厂计划问题

6、中，各台机床的停工维修不是如问题 1 那样规定 3 月份， 而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每台机床在这个月中的一个月必须 停工维修；6 个月中 4 台磨床只有 2 台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可3作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值如何？2 2问题分析问题分析本题是对工厂计划问题建立数学模型并进行最优化求解。一般来说本题属 于相对繁琐的一类问题，其数据量庞大，计算复杂。需要考虑的因素较多。因 此求解该题时，必须对题中所给的每个条件进行仔细分析，确定不等式的基本 模式，明晰各个条件之间的关系。才能便得出产品总利润与生产、销售和库存 工件量的关系式。然后用计算机对数

7、据进行模拟计算并求得最优解，使 6 个月 的利润之和达到最大，同时也可以得出每一个月 7 个产品的生产、库存、及销 售计划。 由题意可知，每个月生产 7 种产品所需设备的总工时要小于或等于该月的 总工时数，而且题目给的条件中市场容量与库存数量均有最大值和各月的库存 是可以累加的，所以生产产品时要结合市场容量和库存来求解。从题目的分析 中，得出基本关系式，产品总利润=销售数量产品利润-库存数库存保管费。对于问题 1，可以用前面的提到的方法利用 Lingo 软件求得最优解。然而 后面提到的改变产品价格来改变计划需要通过模拟函数来求得产品价格与利润 的关系式。而购买新机床本组通过利用 lingo 软

8、件的灵敏度的分析可以求得最 佳的购买方案。 对于问题 2，要求在不改变检修机床的数量而是改变顺序上构造一个最优 设备计划检修模型，使得让每一个月所需设备尽可能得运转而使产品尽可能的 和市场容量一样从而使产品的总利润最大，所以本组需要通过定量的比较精确 的计算求得。3 3基本假设与符号说明基本假设与符号说明3 31 1 基本假设基本假设 (1) 进行机床加工时，忽略人员和设备的准备时间与转移时间。 （2）在生产时各个工序是无缝衔接的，没有生产等待时间的。 （3）产品的库存费用都是从月初收取，该月内的产品卖出不影响库存费用。（4）除需维修的机床外，其他机床都是符合题目所给的条件。 （5）库存的产品

9、不会因为保存时间的长短和天气的变化而影响质量而导致 价格的下降。3 32 2 符号说明符号说明表示 6 个月的利润总和；Z表示第 I 月份的利润（I=1,2,3,4,5,6） ；iZ表示 x 为销售量，I 为月份（I=1,2,3,4,5,6） ，j 为产品的种类ijX4（j=1,2,3,4,5,6,7） ；表示第 I 月底产品 j 的库存量；ijT表示每个产品的利润，即该产品的售价与原料成本之差；jYj表示第 I 月份生产 j 产品的产量；ijS4 4模型的建立与求解模型的建立与求解4.14.1 问题问题 1 1 的模型和求解的模型和求解4.1.14.1.1 问题问题 1 1 中（中（1 1）

10、问的模型和求解）问的模型和求解 由题目可知，产品总利润是 6 个月的利润总和，即：MAX （1）123456ZZZZZZZ如果对每一个月都进行文字说明将会导致篇幅增加，显得模型累赘，再加 上每一个月的解答方式一样，所以本组只对一月份为例子进行解。 由已知一月份没有库存，则可得一月利润为销售所得与一月未售出的产品 保管费之差，即：（2）77111 110.5jjj jjZY XT由于库存费用只与产品数量有关，与产品种类无关，所以一月份的库存产 品为生产的产品数量与销售产品数量之差，即：（3）111jjjTSX各机床工作时间的约束条件:以磨床为例，有 4 台磨床，又已知条件知 1 月需维修 1 台

11、磨床，则可使用 磨床还有 3 台，由每月工作 24 天，双班制，每班 8 小时，故可得磨床的最大使 用时间，因此，使用磨床的时间不能大于磨床的最大使用时间，同理可得其他 机床的最大使用时间，各机床的最大使用时间如下表：表表 3 3 机床工作时间表机床工作时间表机床月份一月二月三月四月五月六月磨床1152 h1536 h1536 h1536 h1152 h1536 h立式钻床768 h768 h768 h384 h384 h768 h 卧式钻床1152 384 h1152 h1152 h1152 h768 h5h 镗床384 h384 h0 h384 h384 h384 h 刨床384 h384

12、 h384 h384 h384 h0 h故可列的一月份的各个机床的用工时间限制，如：(1) 磨床： （4）11121516170.50.70.30.20.51152SSSSS(2) 垂直钻床： （5）111214160.10.20.30.6768SSSS(3) 水平钻床： （6）1113170.20.80.61152SSS(4) 镗床： （7）11121415170.050.030.070.10.08384SSSSS(5) 刨床： （8）1315170.010.050.05384SSS市场容量对销售量和库存量的约束条件: 由表 2 可知，知道 7 个产品的市场容量在每个月是确定的，那么产品的销

13、 售量应该小于或等于市场容量。 由于是对第一个月求解，所以本组列出了第一个月 7 个产品的销售限制， 如：110500X1201000X130300X（9）140300X150800X160200X170100X同理也可得 26 五个月的约束情况及不等式，但在库存量上约束有所差别。 到了二月，其库存量就不能单独的只用生产量减去销售量了，还要加上第一个 月的库存量。但了三月则要加上第二个月的库存量，第四第五也如此，依此类 推。到了六月,其库存量则有了固定的数额限制，要求为 50 件。由题目已知，每种产品存货最多可到 100 件，即每种产品的库存量不大于 100，且要大于等于 0，由此可得约束条件

14、，如：（j=1,2,3,4,5,6,7） 10100jT6（10）问题 1 的求解 利用上面的模型用 lingo 软件得到结果如附录 1： Global optimal solution found.Objective value: 93656.43Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 31即目标函数总利润最优化配置时最大为93656.4393656.43元 由Lingo得到其具体16月生产销售计划如下：表表 4 4 生产销售表生产销售表1 1 月份月份2 2 月份月份3 3 月份月份4 4 月份月份5 5 月份月份6 6 月份月份

15、生产50070002000550产品产品 1 1 销售50060002000500生产8886000300100550产品产品 2 2销售888500100300100500生产30020004006000产品产品 3 3销售300200040050050生产30010005000350产品产品 4 4销售30000500100300生产800500020011000产品产品 5 5销售800400100200100050生产2003005000200550产品产品 6 6销售2003004000300500产品产品 7 7生产00 20001000销售001001000504.1.24.1.2 问题问题 1 1 中（中（2 2）的模型和求解）的模型和求解 最优价格，就是让工厂获取最大利润的产品价格。本题中所算的最优价格 模型，是指在产销平衡状态下的模型，这里的产销平衡是指工厂产品的产量等 于市场容量。 为了让模型更加合理性，假设工厂的产品的销售量对产品的价格挂钩，产 品的成本与产品的产量也是相关联的。 在此处声明：表示计划的 月份产品的提高后的销售价