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1、高中数学向量专题高中数学向量专题 学习目标学习目标 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积， 理解两个向量共线的充要条件.2.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式.掌握平面 向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.3.了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理， 并能初步运用它们解斜三角形. 向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、
2、平几、解几、立几、物理 等知识中均有涉及. 本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是 本章特点的一个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造 了条件.通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.知识点知识点 1.向量的定义既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. 表示从点 A 到 B 的向量(即 A 为起点，B 为终点AB的向量)，也可以用字母 a a、b b、c c等表示.(印刷用黑体 a a、b b、c c，书写用、注意：长度、面积、体积、质量abc等为数量，位
3、移、速度、力等为向量). 2.向量的模所谓向量的大小，就是向量的长度(或称模)，记作或者.向量不能比较大小，但向量的模ABABABa可以比较大小.3.零向量与单位向量：长度为 0 的向量称为零向量，用表示. 向量的方向是不定的，或者说任何方向都是00向量的方向，因此向量有两个特征：一长度为 0；二是方向不定.长度为 1 的向量称为单位向量.004.平行向量、共线向量 方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如与也是一对平行向量.ABBA由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，
4、故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形 ABCD 是平行四边形，则向量与是一组共线向量；向量与也是一组共线向量.ABCDADBC5.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作=.零向量与零向量相等，任意两个aba b相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.重点难点重点难点 通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用 字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念. 例例 1 1 判断下列各命题是否正确(1)若=，则=aba b(2)若 A、B、C、D 是不共
5、线的四点，则=是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件.ABDC(3)若=,=,则=a b bcac(4)两向量、相等的充要条件是ab(5)=是向量=的必要不充分条件.aba b(6) =的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合.AB CD解：解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.(2)正确.=,=且.ABDCABDCABDC又 A、B、C、D 是不共线的四点.四边形 ABCD 是平行四边形，反之，若四边形 ABCD 是平行四边形则DC，且与方向相同，因此ABABDC=.ABDC(3)正确.=a b，的长度相等且方向相同；ab又=bc，的长度相等且方向相同.b
6、c，的长度相等且方向相同，故 =acac(4)不正确.当,但方向相反，即使=，也不能得到=，故ababa b不是=的充要条件.a b(5)正确.这是因为=,但=,所以=是 =的必要不充分条件.| b | a |a ba bababab(6)不正确.这是因为=时，应有：=及由 A 到 B 与由 C 到 D 的方向相同，但不一定要有AB CDABCDA 与 C 重合、B 与 D 重合.说明：针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向、相等的充要条件应是、的abab方向相同且模相等.针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.结论(6)不正确，告诉我们平面向量与相等，并不
7、要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两ab向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合. 例例 2 2 如图所示，ABC 中，三边长AB、BC、AC均不相等，E、F、D 是 AC，AB，BC 的中点.(1)写出与共线的向量.EF(2)写出与的模大小相等的向量.EF(3)写出与相等的向量.EF解：解：(1)E、F 分别是 AC，AB 的中点EFBC从而，与共线的向量，包括：EF，.FEBDDBDCCDBCCB(2)E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点EF=BC,BD=DC= BC.21 21又AB、BC、AC 均不相等从而，与的模大小相等的向量是：、EFFEBDDBDCCD
8、(3)与相等的向量，包括：、.EFDBCD例例 3 3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等. (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量，则一定不平行.(5)非零向量的单位向量是. aa解：解：(1)假命题，还可以方向相反； (2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等； (3)真命题，因为向量与起点位置无关；(4)假命题，因为若,方向相同，但只要，则.a babab(5)真命题，任一非零向量：的单位向量为.a aa例例 4 4 如图，已知：四边形 ABCD 中，N、M 分别是 AD、BC 的中点，又=.ABDC
9、求证：=，CNMA证明：证明：=ABDCAB=DC，且 ABDC.从而，四边形 ABCD 是平行四边形. ADBC，AD=BC N、M 分别是 AD、BC 的中点.AN=AD,MC=BC.21 21AN=MC. 又 ANMC， 四边形 AMCN 是平行四边形.于是得：AMNC，AM=NC.又由图可知：与的方向一致.CNMA=CNMA【难题巧解点拔难题巧解点拔】 例例 1 1 如图，已知四边形 ABCD 是矩形，O 是两对角线 AC 与 BD 的交点，设点集 M=A,B,C,D,O、向量的集合 T=任 P，QM，且 P、Q 不重合，试求集合 T 的子集个数.PQ分析：分析：要确定向量为元素的集合
10、 T 有多少个子集，就需搞清楚集合 T 中有多少个相异的向量. 解：解：以矩形 ABCD 的四顶点及它的对角线交点 O，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有 20 个，但是这 20 个向量不是各不相等的，我们下面将这 20 个向量一一列举出来：=、=;=、=;、；、；=、=;=、=AO OCOA CODOOBBO ODACCABDDBADBCDA CBABDCBA.它们中有 12 个向量是各不相等的.故 T 是一个 12 元集.所以 T 有 212个子集.CD说明：说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出 T 中的元素个数为 12.而不是 20.这样才能得
11、 到正确的结果.例例 2 2 已知；如图，点 D 在ABC 的边 BC 上，且与 B、C 不重合，E、F 分别在 AB、AC 上，=.DFEA(1)求证：BDEDCF. (2)求当 D 在什么位置时，四边形 AEDF 的面积可以取到最大值?证明：证明：(1)=DFEADFAE，DF=EA. 从而，得：四边形 AEDF 是平行四边形 DEAF，DE=AF 由 DEAF 可得：BDE=C 由 DFAE 可得：B=FDCBDEDCF (2)设BC=a,AC=b,AB=c,BD=x,则DC=a-x.BDEDCF.=CDBDDFBEFCED从而，=，设比为 k1.xBExaDF=，设比为 k2.xEDx
12、aFC由BE+DF=c,ED+FC=b.可得：xk1+(a-x)k1=c,k1=.acxk2+(a-x)k2=b,k2=.abDF=(a-x)acDE=xab由点 F 作 FTAB，垂足为 T由锐角三角函数，FT=AFsinA=xsinAabSAEDF=DFFT=(a-x)xsinAac ab= (ax-x2)sinA2abc=-(x-)2sinAsinA2abc 42a 2a 4bc当且仅当 x=时，等号成立.2a答：D 是 BC 边的中点时，SAEDF取到最大值. 例例 3 3 如图 A1，A2，A8是O 上的八个等分点，则在以 A1，A2A8及圆心 O 九个点中任意两点为起点与终点的向量
13、中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径倍的向量有多少个?2分析：分析：(1)由于 A1、A2A8是O 上的八个等分点，所以八边形 A1A2A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与O 的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是与 (i=1,2,，8)两类.iOAOAi(2)O 内接正方形的边长是半径的倍，所以我们应考虑与圆心 O 形成 90圆心角的两点为端点的向量个数.2解：解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是 (i=1,2，8)共 8 个；另一类是 (i=1,2,8)也有 8iOAOAi个，两类合计 16 个. (2)以 A1，A2，A8为顶点的O 的内接正方形有两个，一是正方形 A
14、1A3A5A7；另一个是正方形 A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍.所以模为半径2倍的向量共有 422=16 个.2说明：说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算与 (i=1，2，8)两类，一般我们易想到 iOAOAiiOA(i=1,2,，8)这 8 个，而易遗漏 (i=1，2，8)这 8 个.OAi(2)圆内接正方形的一边对应了长为的两个向量.例如边 A1A3对应向量与.因此与(1)一样，在解题231AA42AA过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为 8 是错误的.【命题趋势分析命题趋势分析】 本节
15、着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.【典型热点考题典型热点考题】 例例 1 1 给出下列 3 个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的 个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3 分析：分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等， 所以(3)也是假命题. 选 A. 例例 2 2 如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形.(1)与向量相等的向量有 ；(2)若=3，则向量的模等于 .ABABEC分析：分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得=且EDAB=，所以=.于是 E、D、C 三点共线，故=+=2=6.DCABEDDCECEDDCAB答：(1) ，；(2)6EDDC例例 3 3 下列命题中，正确的是( )A.=B.aba bababC. =D.=0=0a babaa解：解：由向量的定义知：向量既有大小，
