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1、10/19/2017星期六,第9章概率论与数理统计问题的计算机求解,高等应用数学问题的MATLAB求解,10/19/2017星期六,第9章 概率论与数理统计问题的计算机求解,概率分布与伪随机数生成统计量分析数理统计分析方法及计算机实现统计假设检验方差分析与主成分分析,10/19/2017星期六,9.1 概率分布与伪随机数生成,概率密度函数与分布函数概述常见分布的概率密度函数与分布函数概率问题的求解随机数与伪随机数,10/19/2017星期六,9.1.1 概率密度函数与分布函数概述,连续随机变量概率密度记为 ，概率密度函数满足： ，且 由概率密度可以定义出概率分布函数：,10/19/2017星期
2、六,概率分布函数 的物理意义，随机变量 x 满足x x发生的概率函数 为单调递增函数，并且满足： 和,10/19/2017星期六,9.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数,Poisson分布正态分布F分布T分布c2 分布G分布Rayleigh分布,10/19/2017星期六,相关MATLAB函数,后缀：pdf，cdf，inv，rnd，stat，fit,10/19/2017星期六,10/19/2017星期六,9.1.2.1 Poisson分布,Poisson分布的概率密度为：其中，l为正整数Poisson分布的概率密度函数：,10/19/2017星期六,Poisson分布的分布函数：Pois
3、son分布的逆概率分布函数：,10/19/2017星期六,例 9.1,试分别绘制出l=1,2,5,10时Poisson分布的概率密度函数与分布函数曲线MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,9.1.2.2 正态分布,正态分布的概率密度函数为：其中，m和s2分别为正态分布的均值和方差 正态分布的概率密度函数调用格式：,10/19/2017星期六,正态分布的分布函数：正态分布的逆概率分布函数：,10/19/2017星期六,例 9.2,分别绘制出 (m,s2) 为(-1,1) , (0,0.1) , (0,1) , (0,10) , (1,1)时正态分布的概率密度函数与分布函数曲线,10
4、/19/2017星期六,MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,9.1.2.3 F 分布,F 分布的概率密度为：F 分布的概率密度是参数p和q的函数，且p和q均为正整数,10/19/2017星期六,F 分布的概率密度函数调用格式：F 分布的分布函数：F 分布的逆概率分布函数：,10/19/2017星期六,例 9.3,给定 (p,q)对为(1,1) , (2,1) , (3,1) , (3,2) , (4,1)，试绘制出F分布的概率密度和分布曲线MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,9.1.2.4 T 分布,T 分布的概率密度为：T 分布的概率密度是参数k的函数，且k为
5、正整数,10/19/2017星期六,T 分布的概率密度函数调用格式：T 分布的分布函数：T 分布的逆概率分布函数：,10/19/2017星期六,例 9.4,绘制出k=1,2,5,10时T分布的概率密度函数与分布函数曲线MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,9.1.2.5 c2分布,c2 分布的概率密度为：其中，k为正整数c2分布是一种特殊的G分布，其中， 且,10/19/2017星期六,c2 分布的概率密度函数调用格式：c2 分布的分布函数：c2 分布的逆概率分布函数：,10/19/2017星期六,例 9.5,绘制出k=1,2,3,4,5时的c2分布的概率密度函数与分布函数曲线M
6、ATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,9.1.2.6 G分布,G分布的概率密度为：其中， ，G(a)为G-函数满足： G(a)=aG(a-1)，G(1)=1并且G(1/2)=p,10/19/2017星期六,G分布的概率密度函数调用格式：G分布的分布函数：G分布的逆概率分布函数：,10/19/2017星期六,例 9.6,试分别绘制出(a,l)为(1,1), (1,0.5), (2,1), (1,2), (3,1) 时G分布的概率密度和分布曲线MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,接上页为了避免函数图像在0附近的跳变，选择横坐标向量：,10/19/2017星期六,9.1.
7、2.7 Rayleigh分布,Rayleigh分布的概率密度为：该函数是b的函数,10/19/2017星期六,Rayleigh分布的概率密度函数调用格式：Rayleigh分布的分布函数：Rayleigh分布的逆概率分布函数：,10/19/2017星期六,例 9.7,试分别绘制出b=0.5,1,3,5时Rayleigh分布的概率密度函数与分布函数曲线MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,9.1.3 概率问题的求解,三个求取概率的公式： 的概率 的概率 的概率,10/19/2017星期六,例 9.8,已知某随机变量x为Rayleigh分布，且b=1，分别求出该随机变量x值落入区间0.
8、2, 2及区间1,)的概率MATLAB求解语句：落入区间0.2, 2 落入区间1,),10/19/2017星期六,例 9.9,二维随机变量(x,h)的联合概率密度为求出MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,9.1.4 随机数与伪随机数,生成不同种类分布的随机数的函数调用格式生成nm的G分布的伪随机数矩阵生成c2分布的伪随机数,10/19/2017星期六,生成 T 分布的伪随机数生成F 分布的伪随机数生成Rayleigh分布的伪随机数,10/19/2017星期六,例 9.10,令b=1，生成300001个Rayleigh分布的随机数,并用直方图检验生成数据的概率分布情况MATLAB
9、求解语句：,10/19/2017星期六,9.2 统计量分析,随机变量的均值与方差随机变量的矩多变量随机数的协方差分析多变量正态分布的联合概率密度即分布函数基于Monte Carlo法的数学问题求解,10/19/2017星期六,9.2.1 随机变量的均值与方差,假设连续随机变量x的概率密度函数为数学期望Ex：数学方差Dx：,10/19/2017星期六,例 9.11,用积分方法求取G分布(a0,l0)的均值与方差MATLAB求解语句：结果： 和,10/19/2017星期六,在实际中测出一组样本数据则它们的均值和方差分别为：无偏的方差：称 为“标准差”,10/19/2017星期六,已知一组随机变量样
10、本数据构成的向量：求向量各个元素的均值：求向量各个元素的方差：求向量各个元素的标准差：,10/19/2017星期六,例 9.12,生成一组30000个正态分布随机数，均值为 0.5，标准差为 1.5，分析数据实际的均值、方差和标准差，及减小随机变量个数的结果MATLAB求解语句：使用300个随机数:,10/19/2017星期六,对于常见的分布函数，可以通过MATLAB命令直接求出该分布的均值和方差（分布类型标识后加后缀 “stat”）：返回的变量为相关分布的均值和方差,10/19/2017星期六,例 9.13,求出Rayleigh分布（b=0.45）的均值与方差MATLAB求解语句：结果：,1
11、0/19/2017星期六,9.2.2 随机变量的矩,假设 为连续随机变量，且 为其概率密度函数，则该变量的 阶原点矩 阶中心矩为：可见，,10/19/2017星期六,例 9.14,考虑G分布(a0，l0)的原点矩和中心矩，并由前几项结果总结一般规律MATLAB求解命令：通项表达式：,10/19/2017星期六,直接求出：计算原问题的中心矩：,10/19/2017星期六,给定的随机数为一些样本点该随机变量的 阶原点矩该随机变量的 阶中心矩,10/19/2017星期六,例 9.15,给生成一组30000个正态分布随机数，均值为 0.5，标准差为 1.5，试求出随机数的各阶矩MATLAB求解命令：,
12、10/19/2017星期六,求出各阶矩的理论值：,10/19/2017星期六,9.2.3 多变量随机数的协方差分析,随机数 为二维随机变量对 的样本二维样本的协方差：二维样本的相关系数：,10/19/2017星期六,协方差矩阵：其中，计算协方差矩阵的函数调用格式其中， 的各列均表示不同的随机变量的样本值,10/19/2017星期六,例 9.16,试用MATLAB语言产生 4个满足标准正态分布的随机变量，并求出其协方差矩阵MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,9.2.4 多变量正态分布的联合概率密度即分布函数,给定n组正态分布随机变量 ，它们的均值分别为 ，可以构成一个均值向量 ，
13、这些变量的协方差矩阵为 ，这些随机变量的联合概率密度为 其中，,10/19/2017星期六,求随机变量的联合概率密度的函数调用格式：其中， 为n列的矩阵，每一列表示一个随机变量,10/19/2017星期六,例 9.17,给定 ，绘制联合概率密度函数；若协方差矩阵的非对角线元素为0，绘制新的概率密度函数MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,消除协方差矩阵的非对角元素：,10/19/2017星期六,产生多变量正态分布随机数的函数调用格式该函数可以生成m组满足多变量正态分布的随机变量，返回的 为mn矩阵， 每一列表示一个随机变量。,10/19/2017星期六,例 9.18,观察均值为 ，协方差矩阵为 的二维正态分布的伪随机数的分布情况MATLAB求解语句：,10/19/2017星期六,9.2.5 基于Monte Carlo法的数学问题求解,Monte Carlo法是通过大量实验来求取随机变量近似值的一种采用的方法在现代科学研究中，Monte Carlo法经常用来求解一些建模困难的问题,10/19/2017星期六,例 9.19,试用Monte Carlo法近似求出p的值 数学求解公式： MATLAB求解语句：,
