《第三章系统的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章系统的数学模型（125页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第一节 控制系统的微分方程,第二节 传递函数,第四节 闭环控制系统的传递函数,第五节 相似系统,第三节 系统的动态结构图,主要内容,2,研究与分析一个系统的动态特性，或对系统进行控制，不仅要定性的了解系统的工作原理，而且要定量的描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就要建立系统的数学模型。,系统的数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的数学表达式。描述各变量动态关系的数学表达式，称为动态模型。常用的动态模型有微分方程、传递函数及动态结构图。,3,建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。一般应根据系统的实际结构参数及计算所要求的精度，略去一些
2、次要因素，使模型即能准确的反映系统的动态特性，又能简化分析计算的工作。,建立系统数学 模型的方法,试验法,解析法,依据系统及元件各变量 之间所遵循的物理、化 学定律，列写出变量之 间的数学表达式，从而 建立数学模型。,4,第一节 控制系统的微分方程,系统的微分方程是动态数学模型中最基本的一种。用解析法建立系统微分方程式的一般步骤如下：,1、根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出变量。,2、从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)定律，列出在变化过程中的动态方程,一般为微分方程组。,3、消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。,4、标准化。,5,一、微分方程式
3、的建立,例1 弹簧-质量-阻尼器系统,图3-1-1表示一个弹簧-质-阻尼器系统。当外力f(t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式。f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。运动部件的质量为M。,图3-1-1 弹簧-质量-阻尼器系统,6,(1)根据牛顿第二定律，有：,(2)f1(t)和f2(t)为中间变量：,阻尼器 阻力,弹簧弹力,K为弹性系数,B为阻尼比,7,此机械位移系统为线性定常系统。,则有弹簧-质量-阻尼系统的标准微分方程式,令,(4)标准化,(3) 系统的微分方程式 :,8,例2 R-L-C电路,图3-1-2所示R-L-C电路中，R、L、C 均
4、为常值， 为输入电压， 为输出电压。要求列出 与 的方程关系式。,图3-1-2 RLC电路,(1)根据克希霍夫定律可写出原始方程式：,(2)i与输出uc(t)有如下关系：,9,(3) 输入输出微分方程式：,10,例3 如图3-1-3为由两级形式相同的RC电路串联组成的滤波网络.试列写以Ur为输入, Uc为输出的网络的动态方程.,(1)根据克希霍夫定律写出原始方程式：,11,(2) 输入输出微分方程式：,令,12,例4,图3-1-4电枢电压控制的直流电动机线路原理图,磁场固定不变(激磁电流if=c)，用电枢电压来控制的直 流电动机。控制输入为电枢电压Ua ，输出为 ， 负载转矩ML变化为主要扰动
5、。求输入与输出关系微分方 程式。,13,(1)列写原始方程式。首先根据克希霍夫定律写出电枢回路方程式如下：,反电势系数(伏/弧度/秒),电动机角速度（弧度/秒）,根据刚体旋转定律，可写运动方程式,转动部分转动惯量(公斤米2),电动机轴上负载转矩(牛顿米),电磁转矩(牛顿米),转动部分粘性摩擦系数(牛顿米弧度秒),(2)Md和ia是中间变量,(3)整理后得：,电磁转矩系数(牛顿米/安),14,若输出为电动机的转角 ，则按式(2.17)有:,15,图3-1-5,16,忽略粘性摩擦,17,控制系统都有一个平衡的工作状态和相应的工作点非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小.,
6、展开成泰勒级数:,二、非线性微分方程的线性化,图3-1-6,18,(1)线性方程中的参数与选择的工作点有关,因此处理时首先确定工作点。 (2)当输入量变化较大时，用上述方法处理误差较大。 (3)如果系统在工作点处的非线性特性是不连续的，其泰勒级数不收敛，上述方法不能用。,若在工作点附近增量 很小,则上式近似为,线性化处理时应注意以下几点:,19,目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响，十分方便。,第二节 传递函数,20,第二节 传递函数,一、传递函数的概念,二、传递函数
7、的性质,三、由微分方程直接求传递函数,四、典型环节及其传递函数,21,一、传递函数的基本概念,1、已知单输入，单输出的线性定常系统的输入为r(t),输出为c(t),则微分方程为：,22,2、在零初始条件下。,输入-输出的初始条件为零，即,此时，拉氏变换的微分性质应用为,23,3、将微分方程两边进行拉氏变换。,微分方程：,拉氏变换：,24,4、令得 即为传递函数,拉氏变换：,传递函数：,25,1.线性定常系统 2.在零初始条件下 3.输出与输入拉氏变换的 4.比值,总结以上求解过程，得传递函数的定义为,26,传递函数表示成方框图：,信息传递关系为：,27,二、传递函数的基本性质,1.传递函数反映
8、系统本身的动态特性，只与系统（元件）本身的结构参数有关，与外界输入无关。传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性 传递函数的分子反映系统同外界之间的关系,28,2.传递函数只适用于线性定常系统。因为它由拉氏变换而来的，而拉氏变换是一种线性变换。,3.传递函数是在零初始条件下导出的，因此传递函数原则上不能反应系统在非零初始条件下的全部运动规律。4.一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，而不能反映系统内部的特性。,29,5.系统的输入给定，系统的输出完全取决于传递函数。,6.对实际的物理系统，传递函数分母多项式s的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式s的最高阶次m。即,因为系统或
9、元件总是存在惯性，即输入给出时系统有保持输入前零状态的趋势，输出滞后于输入，导致输入对时间的导数阶次不高于输出。,30,7.传递函数可以有量纲，也可以无量纲，视输出输入量纲而定。,如：在机械系统中，若输出为位移（cm）,输入为力（N）,则传递函数G(s)的量纲为cm/N。 若输出为位移（cm）,输入亦为位移（cm），则G(s)为无量纲的比值，表现为放大倍数。,31,8.一个传递函数是由相应的零、极点组成的。,可将传递函数表示为因式连乘的形式：,式中k0为常数，为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；为分母多项式方程的n个根，称为 传递函数的极点。,32,一般 可为实数，也可为复数
10、，且若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在s复平面上，则得传递函数的零极点分布图。对于一个确定的系统，必有其确定的传递函数，从而有确定的零、极点分布图。可根据系统的零极点分布情况来推断系统被控量的运动规律。在图中零点用“。”表示，极点用“ * ”表示。,33,零点：z1=-2 极点：p1=-3p2=-1+jp3=-1-j,例如：,图3-2-1 零极点图,34,9.相似原理：物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传递函数。,因为既然可以用同样类型的微分方程来描述不同物理系统的动态过程，也就可以用同样类型的传递函数来描述不同物理系统的动态过程。这样的系统称为相似系统。,35,三、由微
11、分方程直接求传递函数,对于传递函数的求取，一般可采用两种方法：直接法和动态结构图法。这里介绍直接法。,例5 列写出图3-2-2所示RC无源网络的传递函数。,图3-2-2 RC电路,36,图3-2-2 RC电路,解:,(1),(2),(3),(4),(5),令T=RC,(6),37,(5),令T=RC,(6),图3-2-3 传递函数的方框图,或,38,例6 列写出图中弹簧质量阻尼系统的传递函数的传递函数。,图3-2-4 弹簧-质量-阻尼系统,解:,(1),(2),(3),(4),39,(4),(5),(6),图3-2-5 例6传递函数的方框图,40,练习1：写出图示RLC网络的传递函数。,41,
12、解：,(1),(2),(3),(5),(4),(6),42,例7：写出图示系统在电枢 电压作用下的传递函数:,图3-2-6,43,(1),(2),(3),(4),44,(5),忽略电枢电感,(6),(7),令,45,四、典型环节及其传递函数,46,(3-2-1a),传递函数：,(3-2-1b),图3-2-7 比例环节电路,特征：输出量与输入量成正比。输出无波形失真和时间延迟。,47,2 、惯性环节,运动方程式：,传递函数：,(3-2-2a),(3-2-2b),式中K环节的比例系数；T环节的时间常数。,当输入量为阶跃函数时，输出量要经过一定的时间才能达到相应的平衡状态，输出量按指数曲线上升，具有
13、惯性。如RC网络。,特征：,48,图3-2-8 惯性环节电路,49,3、积分环节,运动方程式：,传递函数：,(3-2-3a),(3-2-3b),式中T积分时间常数。,当输入量为阶跃函数时，输出量为t/T，它随着时间直线增加。,特征：,50,图3-2-9 积分调节电路,51,4、微分环节(理想微分环节),运动方程式：,传递函数：,(3-2-4a),(3-2-4b),式中 微分时间常数。,特征：,当输入量为阶跃函数时，输出量是个脉冲函数。如图3-2-10微分运算放大器。,52,图3-2-10 微分环节电路,53,5、一阶微分环节,运动方程式：,传递函数：,(3-2-5a),(3-2-5b),式中
14、微分时间常数。,图3-2-11 一阶微分环节电路（PD调节器）,54,图3-2-12 一阶微分环节电路,55,6、振荡环节,运动方程式：,传递函数：,(3-2-6a),(3-2-6b),式中 -无阻尼自然振荡频率， ；阻尼比。,56,则,系统将发生不衰减的振荡。,如果,如果,阻尼器对系统的振荡起阻尼作用。,故 称为系统的阻尼系数。,如M-k-B系统,57,称为系统的临界阻尼系数。,对阻尼系数为 的二阶系统,58,与标准式（3-26b)比较得：,传递函数有两个相等的极点,对于RLC电路,如R-L-C系统,59,如果,则,如果,电路中将发生不衰减 的电磁振荡。,故 称为电路RLC的阻尼系数。,称为
15、电路临界阻尼系数。,对阻尼系数为 的二阶系统,60,7、延滞环节,运动方程式为：,传递函数为：,(3-2-7a),(3-2-7b),图3-2-13 延滞环节,特征：输出量在时间上滞后输入量时间 ，但不失真地反映输入量。,系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。,61,第三节 系统的动态结构图,求取传递函数时，需要对微分方程组或经拉氏变换后的代数方程组进行消元。如果方程组的子方程数较多，消元仍是比较麻烦，而且消元之后，仅剩下输入输出两个变量,信号中间的传递过程得不到反映。而采用结构图或信号流图，将便于求取系统的传递函数，同时能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程。因此，结构
16、图和信号流图作为一种数学模型，在控制理论中得到了广泛的应用。,62,一、动态结构图的概念,二、动态结构图的建立(绘制方法),三、结构图的等效变换,63,把各环节或元件的传递函数填在系统原理方 块图的方块中，并把相应的输入输出以拉氏变 换来表示，就可得到传递函数方块图。,一、动态结构图的概念(组成),这种图既说明了信号之间的数学物理关系，又描述了系统的动态结构，因此称为系统的动态结构图。,64,图3-3-1 RC网络,RC网络的微分方程式为:,(3-3-1a),(3-3-1b),(3-3-1c),(1),(2),(3),以RC网络为例说明动态结构图的一般构成。,65,(3-3-1b),(3-3-1c),图3-3-2 RC网络的结构图,66,图中各符号的说明：,(1)信号线 箭头表示信号的传递方向，信号只能单向传递。,
