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1、第四章 弯曲强度,材料力学,* 平面弯曲的概念,* 梁的载荷及计算简图,* 剪力与弯矩,* 剪力图与弯矩图,* 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,* 纯弯曲梁的正应力,* 梁的切应力,* 梁弯曲时的强度计算,四、 叠加法作弯矩图,叠加原理：,由几个外力同时作用时所引起的构件内的某一参数,（内力、应力或位移等）,由各个外力单独作用时所引起的构件内的该一参数,的矢量和或代数和,适用条件：小变形情况,剪力图和弯矩图,上节回顾,四、 叠加法作弯矩图,上节回顾,即：,由此得到,一、FS、M和q之间的微分关系梁的平衡微分方程,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,上节回顾,即：,由此得到,一、FS、M
2、和q之间的微分关系梁的平衡微分方程,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,上节回顾,微分关系对应表,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,上节回顾,二、突变条件,突变条件对应表,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,上节回顾,三、控制点法作剪力图和弯矩图,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,任一段梁上，剪力增量等于q 图的面积， 弯矩增量等于剪力图的面积。,考虑任一段梁(AB段)，把平衡微分方程在这段梁上积分,上节回顾,控制点法画剪力图与弯矩图主要步骤：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制点(面)。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值 (假定剪力和弯矩都为正方向)。, 建立FS一x
3、和M一x坐标系，并将控制点(面)上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,上节回顾, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,返回,返回总目录,B,简单刚架的组成横梁、立柱与刚节点。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,刚架若干杆件通过刚性连接而成的结构。, 面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量轴力、剪力和弯矩。,特 点, 内力分量的正负号与观察者位置的关系：,轴力的正负号与观察者位置无关；,剪力的正负号与观察者位置无关；,弯矩的正负号与观察者位置有关。, 刚架的内力与
4、内力图,第四章 弯曲强度,轴力的正负号与观察者位置无关, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,剪力的正负号与观察者位置无关, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,弯矩的正负号与观察者位置有关, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,刚架内力图的画法,(1) 无需建立坐标系；(2) 控制面、平衡微分方程；(3) 弯矩的数值标在受拉边;,(4) 轴力、剪力画在里侧和外侧均可， 但需标出正负号；,(5) 注意节点处的平衡关系。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,节点处的平衡关系,B, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,例 13,已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。,B,试：画出刚架
5、的内力图。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,B,解：1、确定约束力, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：2、确定控制面。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：3、确定控制面上的内力。,考察立柱AB的平衡, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：3、确定控制面上的内力。,考察 横梁BC的平衡, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：4、画剪力图和弯矩图。, 将控制面上的剪力和弯矩分别标在FS和M坐标中。, 根据微分关系连图线。, 剪力图标上正负号。, 弯矩图画在受拉的一侧。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：4、画轴力图。, 将控制面上的轴力标在FN坐标
6、中。, 连图线。, 根据轴力的拉、压性质，在图上标上正负号。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,例 题 14, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度, 结论与讨论,第四章 弯曲强度,返回,返回总目录, 结论与讨论,第四章 弯曲强度, 关于剪力弯矩与载荷集度之间微分关系的证明, 关于弯曲内力的几点重要结论, 平衡微分关系的灵活应用, 怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩, 三个微分方程, 一套方法, 结论与讨论,第四章 弯曲强度,关于弯曲内力的几点重要结论, 比较三个梁的受力、剪力和弯矩图的相同 之处和不同之处，从中能得到什么重要结论？, 结论与讨论,第四章 弯曲强度,关于弯曲内力的几
7、点重要结论,从中能得到什么 重要结论？,比较三种情形下梁的受力、剪力和弯矩图的相同之处和不同之处., 结论与讨论,第四章 弯曲强度, 确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？, 结论与讨论,第四章 弯曲强度,怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩,力系简化方法应用于确定控制面上剪力和弯矩, 结论与讨论,第四章 弯曲强度, 确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？, 结论与讨论,第四章 弯曲强度,平衡微分关系的灵活应用, 通过平衡微分方程的积分确定弯矩图上极值点处的弯矩数值。, 结论与讨论,第四章 弯曲强度,平衡微分关系的灵活应用,任
8、一段梁上，剪力增量等于q 图的面积 弯矩增量等于剪力图的面积。, 根据梁的剪力图和弯矩图能不能确定梁的受力，能否确定梁的支承性质与支承位置？, 只给定梁的剪力图能不能确定梁的受力，能不能确定梁的支承性质与支承位置？答案是否具有唯一性？由给定的剪力图能否确定弯矩图，答案是否唯一？, 结论与讨论,第四章 弯曲强度,平衡微分关系的灵活应用,纯弯曲梁的正应力,第四章 弯曲强度,一、纯弯曲与横力弯曲的概念,二、纯弯曲梁的正应力,三、横力弯曲梁的正应力,纯 弯 曲,横力弯曲,横截面上只有M、没有FS的弯曲,横截面上既有M、又有FS的弯曲,剪切弯曲,一、纯弯曲与横力弯曲的概念,纯弯曲梁的正应力,1. 实验分
9、析,二、纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,1. 实验分析,纵向线:,变形现象：,上层纵向线缩短，下层纵向线伸长,仍为直线，相对旋转了一角度,弯成了相互平行的弧线，但仍与横向线垂直,二、纯弯曲梁的正应力,横向线:,纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,平面假设,假设：,(2) 纵向线处于简单拉伸或压缩状态单向受力假设,(1) 横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线,(3) 同一高度上的纵向线的变形相同,横截面上只有正应力,横截面上同一高度的正应力相等,平面假设,纯弯曲梁的正应力,中性层,中性轴,既不伸长、也不缩短的纵向层,横截面, 弯曲时各横截面绕其中性轴旋转,中性轴,横截面
10、与中性层的交线,两个名词：,中性层,纯弯曲梁的正应力,2. 公式推导,(1) 变形几何学方面,(2) 物理学方面,纯弯曲梁的正应力,中性层曲率半径,纯弯曲梁横截面上各点的正应力与该点到中性轴的距离成正比！,(3) 静力学方面, z 轴必须通过横截面的形心,对称图形 Iyz0 自然满足,EIz 梁的抗弯刚度，,反映梁抵抗弯曲变形的能力,纯弯曲梁的正应力,或,横截面上的正应力,与横截面的形状和尺寸有关，,单位：m3,抗弯截面系数,最大正应力,纯弯曲梁的正应力,常用截面Wz：,纯弯曲梁的正应力,三、横力弯曲梁的正应力,在横力弯曲情况下：,横截面上既有正应力，又有切应力,可按纯弯曲梁的正应力公式计算横
11、力弯曲梁的正应力,横截面将发生翘曲，不再保持为平面,精确的分析表明：,当 时(细长梁),纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,例 求1-1截面上的D与E点的正应力以及梁,的最大正应力。,解：,1. D与E点的应力,解：,2.梁的最大应力,纯弯曲梁的正应力,例 求1-1截面上的D与E点的正应力以及梁,的最大正应力。,例 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=5kN作用。试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。,解： 1确定截面形心位置选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为:,2计算截面惯性矩,纯弯曲梁的正应力,3 计算最大弯曲正应力 截面BB的弯矩为:,在
12、截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：,例 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。,梁的切应力,一、矩形截面梁,二、工字形截面梁,三、圆形截面梁,四、横力弯曲时横截面的翘曲变形,第四章 弯曲强度,实践表明：,梁的切应力,有些梁 是 因正应力达到抗拉或抗压强度而破坏,跨度小、截面高的木梁,有些梁则是因切应力达到抗切强度而破坏,(1) 梁端横截面上的剪力较大,例如：,破坏原因：,(2) 木梁沿木纹方向的抗切能力较弱,实验研究和理论分析表明：,梁的切应力分布规律与横截面的形状有关,以下介绍几种常用截面上的切应
13、力,梁的切应力,一、矩形截面梁,1.两个假设,(1) 切应力方向与横截面的侧边平行，与剪力同向；,(2) 切应力沿横截面宽度均匀分布。,梁的切应力,2.公式推导,(1) 取微段dx,梁的切应力,(2) 在微段dx中取研究体,梁的切应力,(3) 求研究体各面上的合力,梁的切应力,(4) 考虑研究体的平衡,梁的切应力,所求切应力点一侧部分,由切应力互等定理：,式中,截面积A*对中性轴的静面矩,梁的切应力,3.切应力分布规律,梁的切应力,矩形截面梁的最大弯曲切应力为平均切应力的1.5倍。,腹板中的切应力,翼缘,二、工字形截面梁,腹板,矩形截面上切应力分布的两个假设仍然适用,故,梁的切应力,工字形截面梁 切应力主要由腹板承担 正应力主要由翼缘承担,1.假设,三、圆形截面梁,(1) 水平弦AB上各点的切应力,方向交于一点,(2) 水平弦AB上各点的切应力,垂直分量相等,垂直分量,2.切应力公式,梁的切应力,3.最大切应力,梁的切应力,四、横力弯曲梁横截面的翘曲变形,矩形截面梁,切应变：,切应变沿高度按抛物线变化，使得横截面发生翘曲,切应力：,梁的切应力,例 求1-1截面上的D与E点的正应力和切应力以及梁,的最大正应力和最大切应力。,解：,1. D与E点的应力,例 求1-1截面上的D与E点的正应力和切应力以及梁,的最大正应力和最大切应力。,解：,2.梁的最大应力,
