《南京大学2008年和2009年数学分析考研试题及解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京大学2008年和2009年数学分析考研试题及解答（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1南京大学南京大学 2008 年数学分析考研试题年数学分析考研试题一 设为上的周期函数，且，证明恒为 0。( )f x1Rlim( )0 xf x f二 设定义在上的二元函数关于，的偏导数均恒为零，证明为常值函数。2R( , )f x yxyf三 设为上的一致连续函数，且，( )nfx(1,2,.)n nRlim( )( )nnfxf x 1xR 问：是否为连续函数？若答案为“是” ，请给出证明；若答案为“否” ，请给出反例。( )f x四 是否存在区间上的数列，使得该数列的极限点（即聚点）集为，把极限点0,1nx0,1集换成，结论如何？请证明你的所有结论。(0,1)五 设为上的非负连续函数，
2、且，问是否在上( )f x0,) 0( )f x dx ( )f x0,)有界? 若答案为“是” ，请给出证明；若答案为“否” ，请给出反例。六 计算由函数和的图像在平面上所围成区域的面积。2 11( )2f xx2 2( )1fxx 2R七 计算积分。222(22)xxyyRedxdy八 计算积分，其中为如下区域：xyzdxdydz，3( , , ):0,0,0,x y zRxyzxyza 为正常数。a九 设，证明：级数是收敛的。0na (1,2,.)n 1nnk kSa2 1nnna S十 方程在附近决定了隐函数，求2232327xyzxyz(1, 2,1)( , )zz x y的值。2
3、(1, 2)z x y 十一 求函数在约束条件，下的极值，333( , , )f x y zxyz2xyz22212xyz并判断极值的类型。十二 设，且，证明：。10,1fC(0)(1)0ff1122001 ( )( )4f xdxfxdx十三 设为上的连续函数，且对任意正整数，均有( )f x0, 1n ，证明：为常值函数。 0( )cos0f xnxdxf2南京大学南京大学 2008 年数学分析考研试题解答年数学分析考研试题解答一 证明 设的周期为，则有，由条件知，( )f xT0T ()( )f xnTf x，( )lim()0 nf xf xnT 结论得证。二 证明 因为，0f x0f
4、 y，在上连续，对任意，有f x f y 2R2( , )x yR，( , )(0,0)f x yf(,)(,)ffxyxxyyxy 0所以，即为常值函数。( , )(0,0)f x yf( , )f x y三 解 未必为连续函数。( )f x反例：，( ) 1nnnxfx x 在上连续，又，所以在上一致连续，( )nfx1Rlim( )1nxfx ( )nfx(,) ，0,11lim( )( ),12 1,1nxxfxf xxx 显然在上不连续。( )f x(,) 四 解（1）存在。取中的有理数形成的点集，则有。0,1 nIr0,1I （2）不存在。假若存在，使得，由于是闭集，而为开集，矛盾
5、，所以这样的nIx(0,1)I I(0,1)点列不存在。五 未必有在上有界，未必有。( )f x0,)lim( )0 xf x 六 解 显然两曲线的交点横坐标为，12 3x 22 3x 32 223 2 31(1)2Sxx dx 2 23 032(1)2xdx3212()320xx31222()233。4 6 9七 解 显然这个二重广义积分是收敛的。由，2xedx222(22)xxyyRedxdy22()xy xdxeedy22()xy xedxedy2xedx。八 解 xyzdxdydz000aa xa x ydxdyxyzdz 十 解，22920xxxz zyz，24920yyz zxz。
6、218920yxxyxyzz zz zz十一 解 333222()(2)(12)Lxyzxyzxyz，2320Lxxx4，2320Lyyy，2320Lzzz，2223()32 ()0xyzxyz，3 123220。36340十二 证明 ， 00( )(0)( )( )xxf xff t dtf t dt，11222 00( )( )( )xxf xf t dtxf tdt，122200( )( )( )xf xxf tdtxf tdt于是，112222 001 1( )( )( )2 2f xdxfxdx，11( )(1)( )( ) xxf xff t dtf t dt ，1111222(
7、)( )(1) ( ) xxf xf t dtxf tdt，1220( )(1)( )f xxf tdt，11222 1021 1( )( )( )2 2fxdxfxdx故有。111122222100021( )( )( )( )4f xdxf xdxf xdxfxdx十三 证明 作函数，是周期为的偶函数，( )F x( )F x2当时，则在上连续，在可积。(0, )x( )( )F xf x( )F x(,0)(0, ), ， 012( )cos( )cos0naF xnxdxF xnxdx(1,2,.)n ，002( )af x dx，1( )sin0nbF xnxdx，01(cossin
8、)( )2nn naanxbnx F x001( )(cossin)22NNnn naaSxanxbnx，5在中收敛于，( )NSx2, L ( )F x，2lim( )( )0NNF xSxdx，2 0( )02aF xdx，2 00( )02af xdx由在上连续，知，( )f x0, 2 0( )02af x 即得，在上为常值函数。0( )2af x ( )f x0, 南京大学南京大学 2009 年数学分析考研试题年数学分析考研试题1 开区间内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。(0,1)2 若级数收敛，则是否有收敛，是请证明；否请举反例。1n na21n na3 设，求
9、。,0a b limnnnnab 4 求。2011lim()sinxxxx5 若函数在上可导，则是否一定有界，是请证明；否请举反例。( )f x0,1( )fx6 函数连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。:fRR7 函数在上有二阶导数，( )f x0,1(0)0f(1)1f( )0fx求证：，。( )f xx0,1x8 函数是一个函数，计算( , )f x y2C000(,)zxy。02 0020(, )1lim( , )(,) hB zhhf x y dxdyf xyh9 计算，其中是八分之一球面xdydzydzdxzdxdy2222( , , ): , ,0,x y
10、 zx y zxyzR，6方向朝外。10 、已知是上有界变差函数，求证：，( )f x, 1,( )nna bOn其中是的傅里叶系数。,nna b( )f x南京大学南京大学 2009 年数学分析考研试题解答年数学分析考研试题解答1 解 尽管中的有理数的个数是可数的，但中的有理数不能按从小到大的顺序排成(0,1)(0,1)一列，理由如下：（1）由于中无最小的有理数，也无最大的有理数；(0,1)（2）用反证法，假若中的有理数按由小到大的顺序排成了一列(0,1)，123.rrr中应没有有理数了，而中仍有有理数，矛盾。12( ,)r r12( ,)r r12 2rr2 解 由级数收敛，未必退出收敛。
11、1n na21n na反例：设，1( 1)nnan 显然收敛，但发散。1n na21n na3 解 设max , Ma b则有，2nnnnMabM，lim2nnMM 由夹逼定理，知。limnnnnab max , Ma b4 解 2011lim()sinxxxx20sinlimsinxxx xx30sinlim xxx x20cos1lim3xx x70sinlim6xx x。1 6 5 解 由在上可导，即在上存在，( )f x0,1( )fx0,1但未必在上有界。( )fx0,1反例：，2 21sin,(0,1( ) 0,0xxf xx x ，1()2( 1)nfnn 在上无界。( )fx0
12、,16 证明 不妨设是的唯一的极小值点，则存在，当时，有0x( )f x000xx，0( )()f xf x我们要断言，对所有，。xR0( )()f xf x用反证法，假若存在，使得，1xR10()()f xf x不妨设，由连续函数的介值性，存在，使得，10xx01(,)x x0( )()ff x在的内部达到最大值，因而也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，所以( )f x0, x是最小值，结论得证。0()f x7 证明 由，知在上是上凸函数，( )0fx( )f x0,1对任意，有12,0,1x x 01，1212(1)(1) ()()fxxf xf x对，有0,1x( )(1) 01)f
13、 xfxx 。(1) (0)(1)x fxfx8 解 0002 (, )1( , )(,)B zhf x y dxdyf xyh80002 (, )1 ( , )(,)B zhf x yf xydxdyh，200002001 (cos ,sin )(,)hdrf xryrf xyrdh2000000 40 (cos ,sin )(,) limhhdrf xryrf xyrdh200000 20 (cos ,sin )(,) lim4hf xhyhf xydh 200cossin lim8hffdxy h2222222001lim(cossin )cos(cossin )sin 8hffffdxy xx yy 222222 00022001lim()cos2()sincos()sin8hfffzzzdxx yy 2200221()()8ffzzxy。2200221()()8ffzzxy9 解 ，1( , , )nx y zRxdydzydzdxzdxdy2221()xyzdSRRdS2148RR。3 2R10 证明 是上有界变差函数，( )f x, 所以在上可积，( )fx, 1( )sinnaf xnxdx9，111( )cos)( )cos
