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1、波利亚的数学解题理论及其在初中数学应用题教学中的应用,罗平县阿岗一中王书文,不看航拍，你永远不知罗平有多美, PCK是指教师在面对特定的学科主题或问题时，如何针对学生的不同兴趣与能力，将学科知识组织、调整与呈现，以进行有效教学的知识。 PCK与其说是一种知识，不如说是一种教师所特有的“转化”智能，即将学科知识转化成学生有效获得的学科教学智能。,学科的知 识,教学的知 识,学生的知 识,数学学科教学知识（数学教学内容知识 Pedagogical Content Knowledge，简称数学PCK）,波利亚及其解题理论介绍,一、波利亚数学教育思想简介 乔治波利亚(GeorgePolya,1887-
2、 1985)，是美籍匈牙利数学家、数学教育家。在数学教育方面他有3部世界名著:怎样解题、数学与猜想、 数学的发现对解题的理解、研究和讲授。这3本书在我国有5个译本,其中怎样解题发行量已过百万册。著名数学家瓦尔登曾高度评价这本书:“每个大学生、每个学者,特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”。,波利亚及其解题理论介绍,二、波利亚的怎样解题表 波利亚将解题过程分为四个基本阶段：理解问题，制定计划，实施计划，回顾。第一，理解问题，也即要清楚已知条件是什么，问题是什么等。第二，制定计划，也就是在面对条件和问题时，我们要理解条件中各个项目有什么关联，未知量与己知数据有什么联系等等，以形成解题的思路，并
3、形成解题计划。第三，实施自己的解题计划。第四，回顾整个解题过程，包括自己是如何理解问题，如何形成解题思路，如何实施计划，并对得到的问题答案进行检验。,列方程(组)解应用题的一般步骤：(1)_；(2)_；(3)找出包含未知数的_；(4)_；(5)_；(6)_,审题,设元,等量关系,列出方程(组),求出方程(组)的解,检验并作答,列方程解应用题的策略,成功属于每天都努力学习的人！,在列方程（组）解应用题时，一般采用直接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的个数要与未知数的个数相同
4、。根据题意列出的方程（组）可能是各种各样的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用学过的知识来判断是什么方程（组），然后，根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组）。,解方程（组）时步骤可以少一些，但是应该有这类方程（组）的标准形式。 （一）解方程的的基本步骤1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意 2、“设”是指设元，也就是未知数包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目) 3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的
5、一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程,4、“解”就是解方程，求出未知数的值5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义6、“答”就是写出答案(包括单位名称),数学教学就是数学语言的教学。数学语言具有简洁、无歧义的特点，但同时内涵丰富，具有一定的抽象性。尤其是符号语言和图表语言要在阅读中进行语意转换，给阅读带来了一定的困难，因而指导学生进行科学有效的阅读能起到事半功倍的效果。,培养学生的阅读能力,中国人一年平均读书0.7本,第一，略读识大意。应用题实际上就是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大。这就需要快速地浏览一遍，了解题目的大意:题
6、目叙述的是什么事，是哪一类问题(函数问题、方程问题、不等式问题、概率问题等)。条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念。同时，要求学生手脑结合，一边读，一边记，一边画出相应的示意图，避免信息的遗漏。,第二，细读抓关键。题目中关键词语和重要语句往往是重要信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点。因此，要求学生在略读识大意的基础上逐字、逐词、逐句进行研读，弄清含义及其相互之间的联系。比如，“至多”、“至少”、“都是”、“不都是”、“增加了”、“增加到”等词语在解题中往往起着关键作用，务必抓住、用准。第三，精读勤转换。阅读数学教材重在领会，而领会的关键是“内部转化”。即把一个抽象的内容转化为具
7、体的内容；把符号、图表转化为文字表述；把文字表述的关系转化为符号或图表等。数学阅读要加强转化训练，使大脑建立起灵活的转化机制。,所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数学模型，是解应用题的关键。,培养学生的建模能力,1、注重课本，打好基础新教材中提供了丰富的实际问题.如面积问题、体积问题、航行问题、邮资问题、细胞分裂问题、分配问题、造价问题、利率问题、规划问题等，这些都是数
8、学建模的最基本的实例，在教学中要给予高度重视。结合生活中的这些简单、常见的实例进行教育，可以使学生掌握数学建模的方法和步骤，打好数学建模的,2、归类整理，准确建模应用题文字较长，数据信息较多，对学生阅读理解、信息筛选的能力要求较高，同时还必须提取已储存的信息，迅速实现信息转换，使实际问题转化为数学符号、数量关系，从而建立数学模型。信息加工理论告诉我们，在提取存贮的信息时，提取线索起着重要的作用。提取线索与记忆痕迹越接近，提取越有效。为此，在教学中应指导学生对应用题进行归类整理，并提供一般的建模思路，使之能迅速、准确地进行数学建模。,3、改题编题，鼓励创新在教学中，教师要鼓励学生对教材中的例题、
9、习题进行改编。通过改变条件、改变结论、改变数量关系等，对习题所提供的信息纵横审视、反复琢磨，从而体会编题者的意图，提高信息加工的速度。另外，也可让学生自己搜集素材，大胆编制新题，进行建模练习。要表扬编题有新意的学生，以充分调动他们学习的积极性。,1、精心研究算法第一，运算要合乎算理。运算过程中的每一步都要有依据，或根据概念，或根据公式，或根据法则，要养成思维严谨的好习惯。第二，运算要简捷。运算过程中选择的运算路径要短，运算步骤要少，运算时间要短。为此，教学中教师要指导学生掌握计算方法和技巧，从而使学生抓住关键计算步骤，节省计算时间。,培养学生的运算能力,2、书写严格要求一是步骤书写要规范。解、
10、证、文字说明、列式、计算结果、计量单位、答案等都要严格按照要求书写，条理清楚，一目了然。二是符号书写要规范。运算符号、关系符号、代数符号、几何符号、三角符号等的书写必须规范清晰、准确无误。三是文字书写要规范。在解题和答题过程中，必须书写工整、笔画正确、标点符号使用得当，完整地表述解题过程。规范的书写不仅能准确地输出信息，更能培养学生学习认真、做事精细的良好品质。,开发生活中的应用题课程资源，发展学生解决应用题的能力在数学教学中，应用题教学始终是困扰学生和教师的一个难点，学生害怕应用题，认为应用题枯燥无味，老师害怕应用题，是因为应用题情景平淡空洞，缺少情景载体，不能激发学生学习兴趣。究其根源，教
11、材中编写的应用题由于带有普遍性、公共性，所以对人就是“甲、乙两人”，对地点就是“A, B 两地”等，这样的应用题，缺乏具体的、贴近学生生活的情感体验，没有学生感兴趣的情景载体，仅仅是为了学会解决一类应用题的方法。,而忽视了数学应用题的形成过程与应用过程，忽视了数学情感态度和价值观的培养，教师教学是就“本”讲“本”，就“题”讲“题”，在教学中就很难激起学生学习应用题的情感和兴趣，也就自然导致应用题教学的失败。其实，在我们生活实践中有许多有意义、也很有趣的应用题课程资源，只要教师善于开发和利用，创设合理、有趣、贴进学生生活的应用题情景和载体，营造一种富有吸引力的学习背景，就能有效地激发学生学习应用
12、题的兴趣，学生就会积极、主动地去思考和探索应用题。,应用题的解法很多，以下几种： 1）列表法 2）图示法 3）演示法 4）实践法,设未知数的技巧：,1、设直接未知数，即求什么设什么。,2、设间接未知数。,3、设辅助未知数，即“设而不求”,在列方程解决实际问题的过程应注意哪些问题？,（1）设未知数时，要仔细分析问题中的数量关系，找出题中的已知条件和未知数，一般采用直接设法，有些问题可用间接设法，要注意未知数的单位，不要漏写。,（2）找等量关系时，可借助图表分析题中的数量关系， 列出两个代数式，使它们都表示一个相等或相同的量。,（3）列方程时，要注意方程各项是同类量，单位要一致，方程左右两边应是等
13、量。,（4）解出方程的解后，要验证它的合理性，再解释它的意义，并要注意单位。,初中应用题的类型及解法,任何人都可以成为自己想成为的那种人,任何人都可以实现自己的愿望,只要你愿意!,义务初中数学课程标准中指出：“在教学中，要注意从学生所熟悉的生活，生产和其他学科的实际出发，进行观察，比较，分析，综合，抽象，概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，在此基础上，引导学生把数学知识运用到生活和生产的实际，包括商品经济的实际中去”在这个指导思想下，近几年中考中着重考查学生运用数学知识分析和解决简单实际问题能力的应用题所占的比重一年年增大，题型设计越来越新颖，也
14、越来越联系实际，贴近生活。,这些熊孩子试卷,初中数学应用题主要有：方程应用题，不等式应用题，一次函数应用题，二次函数应用题，统计应用题，解直角三角形应用题等。就这几年中考数学试题中的应用题来说，在各种题型中都有出现，涉及的背景问题有行程问题，增长率问题，东西部人均收入差距问题，用车费用问题，商品打折问题，广告印刷问题，拱桥、隧道设计问题，小区规划问题，储蓄问题，环境污染问题，铺地砖问题等等,方程应用题,不等式应用题,一次函数应用题,二次函数应用题,统计应用题,解直角三角形应用题,其他应用题,初中数学应用题类型分类,七年级,八年级,九年级,一、方程应用题芈月传中的数学题,例1：为了有效地控制沙尘
15、暴等恶劣天气对人类生存环境的破坏，我国北方某地决定加快植树造林的速度，计划用两年的时间将防风林面积从现在的20,000公顷扩大到2.4万公顷。求平均每年增长的百分率。 例2：某种商品因换季准备打折出售。如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少。,方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解方程)，检(检验)，答。 考试内容多结合当前一些热点话题，如储蓄问题，人均收入问题，环保问题，商品打折问题等。,例3：某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲乙两个垃圾加工厂处理，已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，需费用550元
16、，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元。 1、甲乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需几小时完成。 2、如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7,370元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？ 例4、某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整。该企业现有生产性行业人员100人，平均每人每年可创造产值a元，现欲从中分流出X人去服务性行业，假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人每年创造产值可增加20%，而分流从事服务性行业的人员平均每人每年可创造产值3.5a元。如果要保证分流后该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后从事服务性行业的人数。
17、,二、不等式应用题,不等式应用题是近年来中考命题的热点。这个问题中通常带有“不少于”，“不多于”，“不超过”，“最多”，“至少”等关键词，还常常用到求不等式整数解问题。,函数应用题主要有一次函数问题和二次函数问题。一次函数问题大致可分为：求实际问题中的函数解析式，经济核算的方案比较，运用一次函数增减性求最值问题等。二次函数问题主要分为求函数解析式，求最值和拱桥或喷泉等设计方案问题等等。 例5：辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种苹果42吨到外地销售，按规定每辆车只能装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。 1)设有X辆车装运A种苹果，用Y辆车装运B种苹果，根据上表提供的信息，求Y与X的函数关系式，并求出X的取值范围。 2)设此次外销活动的利润为(百元)，求W与X的函数关系式，以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。,
