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1、二次函数知识点一、基本概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。2yaxbxcabc，0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域0a bc， 是全体实数2. 二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc，abc二、基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：（上加下减）2yaxc3. 的性质：（左加右减）2ya xh的符号a开口方向顶点坐 标对称 轴性质0a 向上00，轴y
2、时，随的增大而增大；时，0x yx0x 随的增大而减小；时，有最小值yx0x y 00a 向下00，轴y时，随的增大而减小；时，0x yx0x 随的增大而增大；时，有最大值yx0x y 0的符号a开口方向顶点坐 标对称 轴性质0a 向上0c，轴y时，随的增大而增大；时，0x yx0x 随的增大而减小；时，有最小值yx0x y c0a 向下0c，轴y时，随的增大而减小；时，0x yx0x 随的增大而增大；时，有最大值yx0x y c的符号a开口方向顶点坐 标对称 轴性质4. 的性质：2ya xhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya
3、 xhkhk， 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk，【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 【 (kO；4a+cO，其中正确结 论的个数为( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例
4、4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与 正方形重叠部分的面积为 ym2 （1）写出 y 与 x 的关系式； （2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.例 5、已知抛物线 y=x2+x-1 25 2 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴 （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查
5、二次函数与一元二次 方程的关系例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于，两点)0 ,(1xA)0 ,(2xB，交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB)(21xx (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你 求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由 (1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)， 则 x1x2=3O，x1ACO例 7、 “已知函数的图象经过点 A（c，2） ， cbxxy2 21求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。
6、”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文 字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过 程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来 的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2） ” ，就可以 列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2） 小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析
7、式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同 的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐 标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得cbxxy2 21 , 3212, 2212bcbcc解得 . 2, 3cb所以所求二次函数解析式为图象如图所示。. 23212xxy（2）在解析式中令 y=0，得，解得023212 xx. 53,5321xx所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐)0 ,5标是).0 ,53( 令 x=3 代入解析式，得,25
8、y所以抛物线的顶点坐标为23212xxy),25, 3( 所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。)25, 3( 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解 函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知 识的联系。用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上 求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好 考查学生的综合应用能力同时，也给学
9、生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间 的关系如下表： x（元）152030 y（件）252010若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少 元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1，b=40，即一次函1525, 220kb kb 数表达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10）
10、（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知 数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么” 要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水 平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚
11、好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则 学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( ) A15 m B1625 m C166 m D167 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B知识点一、平面直角坐标系知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分
12、，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“， ”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的ba 坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限0, 0yx点 P(x,y)在第二象限0, 0yx点 P(x,y)在第三象限0, 0yx点 P(x,y)在第四象限0, 0yx2、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上，
13、x 为任意实数0 y点 P(x,y)在 y 轴上，y 为任意实数0 x点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标
14、相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x （3 3）点）点 P(x,y)P(x,y)到原点的距离等于到原点的距离等于22yx 知识点三、函数及其相关概念知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。
15、2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表 示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四，正比例函数和一次函数知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果（k，b 是常数，k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。bkxy特别地，当一次函数中的 b 为 0 时，（k 为常数，k0） 。这时，y 叫做 x 的正bkxykxy 比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点
