初二数学秋季尖子班讲义

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1、 1 初二数学秋季尖子班 2 第 9 讲 概率综合 . 3 第 10 讲 图形旋转（上） 14 第 11 讲 图形旋转（下） 19 第 12 讲 一元一次方程初步 24 第 13 讲 一元一次方程进阶 31 第 14 讲 一元一次方程综合 38 第 15 讲 期末考试冲刺复习 3 第 9 讲 概 率 综 合 4 第第 9 9 讲讲 概率综合概率综合 考点一、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生

2、的事件，称为随机事件。 【高能 100 例题 1】下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播广告. B. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球. C. 从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上. D. 今年 10 月 1 日 ，厦门市的天气一定是晴天. 【高能 100 例题 2】如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上 1，2，3，4，5，6 这六个数字， 指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解： 甲：如果指针前三次都停在了 3 号扇形，下次就一定不会停在 3 号扇形了 乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6 号扇形 丙：指针停在奇数号扇形

3、的概率和停在偶数号扇形的概率相等 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6 号扇形，指针停在 6号扇形的可能性就会加大。其中你认为正确的见解有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【高能 100 练习 1】下列事件是必然发生事件的是 A、 打开电视机，正在转播足球比赛； B、 小麦的亩产量一定为 1000 公斤； C、 在只装有 5 个红球的袋中摸出 1 球，是红球； D、农历十五的晚上一定能看到圆月 【高能 100 练习 2】下列说法正确的是( ) A、可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生； B、可能性很小的事件在一次实验中一定发生； C、可能性很小的事件在一次实验

4、中有可能发生； D、不可能事件在一次实验中也可能发生 5 【高能 100 练习 3】同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，下列事件中是不可能事件的是（ ） A. 点数之和为 12 B. 点数之和小于 3 C. 点数之和大于 4 且小于 8 D. 点数之和为 13 考点二、随机事件发生的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小， 我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可

5、能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 【高能 100 例题 3】如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形。将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢； 若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢。你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？_. 【高能 100 练习 4】李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子。 当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得 3 分，否则，张明得 1 分，这个游戏公平吗？为

6、什么？ 当两枚骰子的点数之和大于 7 时，李红得 1 分，否则张明得 1 分，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见。 6 考点三、概率的意义与表示方法 1、概率的定义 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率mn会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率。 2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母 A，B，C，表示事件 A 的概率 p，可记为 P（A）=P 考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率 （1）当 A 是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=0 2、

7、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1 概率的值 不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 考点五、古典概型 1、古典概型的定义 某个试验若具有：在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。 2、古典概型的概率的求法 一般地， 如果在一次试验中， 有 n 种可能的结果， 并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）=nm【高能 100 例题 4】某班有 49 位学生，其中有 23 位女生. 在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自

8、写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀. 如果老师闭上眼 睛 从盒中随机抽 出一张纸条，那么 抽到写有女生名字 纸条的概率是 . 【高能 100 练习 5】冰柜里有四种饮料：5 瓶特种可乐、12 瓶普通可乐、9 瓶桔子水、6 瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( )。 A、532 B、38 C、1532 D、1732 7 【高能 100 练习 6】若 1000 张奖券中有 200 张可以中奖，则从中任抽 1 张能中奖的概率为 . 【高能 100 练习 7】一个口袋中装有 4 个白球，2 个红球，6 个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是

9、白球的概率是 。 考点六、几何概率 有些可能的结果没法一一统计，例如雨点落在地砖上的位置、转盘上指针最后停下的位置等，这时我们可以借助几何图形的面积和线段的长度来计算。此时，事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示，在数学上，这些问题的概率又称为几何概率。 【高能 100 例题 5】如图，数轴上两点 AB，在线段 AB 上任取一点 C，则点 C到表示 1 的点的距离不大于 2 的概率是 。 考点七、列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。这种方

10、法称为列举法。 用列举法求概率的基本步骤： 列举出一次试验的所有可能结果，共 n 种； 求出满足要求的结果数 m； 概率 mP An 【高能 100 例题 6】从一个装有 2 个红球，2 个白球（红球、白球除颜色不同之外， 其余都相同） 的盒子里先摸出一个球， 再放回盒子里搅匀， 再摸出一个球，求两次摸到的都是白球的概率。 【高能 100 练习 8】 随机掷一枚均匀的硬币两次， 两次正面都朝上的概率是 （ ） A、41B、21C、43D、1 8 考点六、列表法求概率 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素， 并且

11、可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 【高能 100 例题 7】如图所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A525 B625 C1025 D1925 考点七、树状图法求概率 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果， 求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 【高能 100 例题 8】如图，小明，小华用四张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗均匀后，背面朝上放置在桌

12、面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回。 9 （1）若小明恰好抽到的黑桃 4。 请在右边绘制这种情况的树状图； 求小华抽出的牌的牌面数字比 4 大的概率。 （2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由。 【高能 100 练习 9】一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样。小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球。请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率。 【高能 100 练习 10】某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛八年

13、级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？ 10 考点八、利用频率估计概率 1、利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 3、随机数 在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。 课后作业 【

14、高能 100 作业 1】下列事件中，属于必然事件的是（ ） A、明天我市下雨 B、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数 C、抛一枚硬币，正面朝上 D、一口袋中装有 2 个红球和 1 个白球，从中摸出 2 个球，其中有红球 【高能 100 作业 2】从一副扑克牌中抽出 5 张红桃，4 张梅花，3 张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出 10 张，恰好红桃、梅花、黑桃 3 种牌都抽到，这件事情（ ） A、可能发生 B、不可能发生 C、很有可能发生 D、必然发生 【高能 100 作业 3】如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得 1 分；抛出其他

15、结果，甲得 1 分. 谁先累积到10 分，谁就获胜.你认为 （填“甲”或“乙” ）获胜的可能性更大. 【高能 100 作业 4】中央电视台“幸运 52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在 20 个商标牌中，有 5 个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（ ） A、14 B、 15 C、16 D、320 【高能 100 作业 5】口袋中放有 3 只红球和 11 只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别.随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是 . 11 【高能 100 作业 6】五张标有 1、2、3、4、5 的卡片，除数字外其它没有任何区别。 现将它们背面朝上， 从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是 。 【高能 100 作业 7】以下说法合理的是（ ） A、小明