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1、,第1章 小波分析的基本理论,1.1 傅里叶变换到小波分析1.2 常用小波函数介绍 1.3 连续小波变换1.4 离散小波变换 1.5 矢量小波变换1.6 多分辨分析与Mallat算法 1.7 提升小波变换 1.8 小波包分析,小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅里叶(Fourier)变换的基础上的，但是，傅里叶分析使用的是一种全局的变换，即要么完全在时域，要么完全在频域，它无法表述信号的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了Gabor变换、小波变换、RandonWign
2、er变换、分数阶傅里叶变换、线性调频小波变换、循环统计量理论和调幅调频信号分析等。,其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，使f(t)g(tt)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法(因为它使用一个固定的短时窗函数)，在信号分析上还存在着不可逾越的缺陷。,小波变换是一种信号的时间尺度(时间频率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multi-reso
3、lutionAnalysis)的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。,1.1.1 傅里叶变换 傅里叶变换是众多科学领域(特别是信号处理、图像处理、量子物理等)里的重要的应用工具之一。从实用的观点看，当人们考虑傅里叶分析的时候，通常是指(积分)傅里叶变换和傅里叶级数。,1.1 傅里叶变换到小波分析,定义1.1 函数f
4、 (t)L2(R)的连续傅里叶变换定义为 (1.1) F(w)的傅里叶逆变换定义为 (1.2),为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。,定义1.2 给定实的或复的离散时间序列f0，f1，fN1，设该序列绝对可积，即满足 ，称 (1.3) 为序列 fn的离散傅里叶变换，称,(1.4) 为序列X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)。
5、 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶变换序列X(k)是以2p为周期的，且具有共轭对称性。,若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即 (1.5) 傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可将对原函数f(t)的研究转化为对其权系数，即其傅里叶变换F(w)的研究。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。,傅里叶变换分析的
6、直观说明,在进行傅里叶变换时，如果能合理运用它的有关性质，运算将很方便。下面列出了傅里叶变换的一些常用性质。,1.线性性质 设F1(w)和F2(w)分别为f1(t)和f2(t)的傅里叶变换，a和b为常数，则有 af1(t)bf2(t)aF1(w)bF2(w) (1.6) 这个性质表明，函数线性组合的傅里叶变换等于各函数傅里叶变换的线性组合。傅里叶逆变换亦具有类似的性质。,2.位移性质 设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，则有 (1.7) 该性质表明，时间函数f(t)沿t轴向左或向右位移t0的傅里叶变换等于f(t)的傅里叶变换乘以因子 或 。傅里叶逆变换亦具有类似的位移性质。,3.微分性质 设
7、F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，f(t)表示函数f(t)的微分，则有 (1.8) 该性质表明，一个函数的导数的傅里叶变换等于这个函数的傅里叶变换乘以因子jw。由该性质可以导出一般的微分公式：,4.积分性质 设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，如果当t时， ，则有 (1.9),5.乘积定理 设F1(w)和F2(w)分别为f1(t)和f2(t)的傅里叶变换，则有 (1.10) 其中，f1(t)和f2(t)为t的实函数； 和 分别为F1(w)和F2(w)的共轭函数。,6.能量积分 设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，则有 (1.11) 该式又称为巴塞瓦(Parseval)等式。,例1-1 在
8、某工程实际应用中，有一信号的主要频率成分是由50 Hz和300 Hz的正弦信号组成，该信号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，采样频率为1000 Hz。通过傅里叶变换对其频率成分进行分析。 解 该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行频域分析，其MATLAB程序如下： t0：0.001：1.3； %时间间隔为0.001说明采样频 率为1000 Hz xsin(2*pi*50*t)sin(2*pi*300*t)；%产生主要频率 为50 Hz和300 Hz的信号,fx3.5*randn(1，length(t)；%在信号中加入白噪 声 subplot(321)；plot(f)； %画出原始信号的波形图
9、 Ylabel(幅值)； Xlabel(时间)； title(原始信号)； yfft(f，1024)； %对原始信号进行离散傅里叶变 换，参加DFT的采样点个数为1024 py.*conj(y)/1024； %计算功率谱密度,ff1000*(0：511)/1024；%计算变换后不同点所对 应的频率值 subplot(322)；plot(ff，p(1：512)；%画出信号的频 谱图 Ylabel(功率谱密度)； Xlabel(频率)； title(信号功率谱图)； 程序输出结果如图1.1所示。,图1.1,从图1.1(a)中我们看不出任何频域的性质，但从信号的功率谱图(图1.1(b)中，我们可以明
10、显地看出该信号是由频率为50 Hz和300 Hz的正弦信号和频率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以明显地看出信号的频率特性。,在matlab或R里我们可以直接调用FFT函数实现快速傅里叶变换，然而FFT的输出到底是什么含义，经常让初学者们一头雾水。实际上，它不过是每个采样点（共N个）对应的振幅（可能叫振幅不是很贴切，准确地讲它们的绝对值才是振幅）或者能量值（该值的绝对值越大，说明该点对应的周期越明显）。 注意：在这些输出值中，第一个值是对应的直流分量的振幅（其实就是周期为无穷的可能性），那么第2个值对应第1个采样点，第3个对应第2个。第n个对应第n-1个采样点。而且这个输出是对称的，也就是大家
11、直接关注前N/2个才样点就可以了。那么第n个点的频率是多少呢，它的计算公式是Fn=(n-1)*Fs/N，其中Fs是采样频率。由此就可以计算出n点对应的周期了，它是频率的倒数，即Tn=N/(n-1)*Fs)。下面给出例子： 例一：A=1,2,1,2,1,2; fft(A) ans= 9 0 0 -3 0 0 这里输出的意思是，序列A有很大的可能没有周期（第一个点的频率为0，它对应的数字是9），还有一个可能的周期是-3对应的周期，这个周期的计算方法是:-3对应于n=4,默认Fs=1,这里T=6/(3*1)=2,即周期为2。,虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和
12、频域观察，但不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅里叶谱是信号的统计特性。从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。,如果f(x)的定义域是图中外圈的内部，f（x）在黑的部分不为零，黑的部分就是f（x）的支集，外圈和黑的部分中间的环处f（x）都是取0，那么就说f（x）具有紧致支集，黑的部分（集合）有紧致性,在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时
13、刻附近的频域特征都很重要。如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，亦称为时频局部化方法。,1.1.2 短时傅里叶变换 由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力，因此Dennis Gabor于1946年引入了短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform)。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间
14、间隔存在的频率。其表达式为 (1.12),其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为窗口函数，S(w，t)大致反映了时刻为t、频率为w时f(t)的“信号成分”的相对含量。这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在td，td、w e ，w e 这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，d和e分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。,很显然希望d和e都非常小，以便有更
15、好的时频分析效果，但海森堡(Heisenberg)测不准原理(Uncertainty Principle)指出，d和e是互相制约的，两者不可能同时都任意小(事实上， ，且仅当 为高斯函数时，等号成立)，变换如图1.2所示。,图1.2,由此可见，短时傅里叶(STFT)虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，t、w只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说STFT实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。因此，STFT用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率(即d要小)，而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求比较高的频率分辨率(即e要小)，而短时傅里叶不能兼顾两者。,1.1.3 小波分析 小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。,
