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1、,第九章 圆锥曲线,椭圆及其标准方程,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,仙女座星系,星系中的椭圆,“传说中的”飞碟, 太阳系行星的运动,数学实验,(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形,思考,数学实验,(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形,1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过
2、程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,请你归纳出椭圆的定义?,(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离和是个定值,（2）点M到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离,根据上面的内容你更给 出椭圆的定义吗？,（一）椭圆的定义,平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。,椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的符号表述：,(2a2c),O,r,设圆上任意一点P(x，y),以圆心O为原点，建立直角坐标系,两边平方，得, 回忆如何求圆的方程的？, 探讨建立平面直角坐标系的方
3、案,建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”,方案一,解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,（问题：下面怎样化简？）,由椭圆的定义得，限制条件：,代入坐标,2.椭圆的标准方程的推导,两边除以 得,由椭圆定义可知,焦点在y轴：,焦点在x轴：,椭圆的标准方程,记忆方法： 在那个字母下面，焦点就在哪个坐标轴（哪个字母下面的数大，焦点就在哪个轴上）,图 形,方 程,
4、焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,MF1+MF2=2a (2a2c0),定 义,两类标准方程的对照表,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,1.口答：下列方程哪些表示椭圆？,练习一：,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,例题,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则
5、：焦点在分母大的那个轴上。,|CF1|+|CF2|=2a,练习二：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标,答：在 X 轴（-3，0）和（3，0）,答：在 y 轴（0，-5）和（0，5）,答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。,0b3,3.已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是 .,变式：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范 围是 .,(0,4),(1,2),4、 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为_，焦距等于_. (2)若C为椭圆上一点，F1、
6、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=_.,5,4,3,6,(-3,0)、(3,0),8,例、写出适合下列条件的椭圆的标准方程,1,2,小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出,例3：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。,解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 2a=10 2c=8 a=5 c=4 b2=a2c2=9, b=3,因此这个椭圆的标准方程是：,定义法求轨迹方程。,习
7、题:已知ABC的一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程。,.,解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：,y,o,B,C,A,x, 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为:,练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(2)焦点为F1(0,3),F2(0,3),且a=5.,答案：,(1)a= ,b=1,焦点在x轴上;,(3)两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；,(4)经过点P(2,0)和Q(0,3).,小结：求椭圆标准方程的步骤：,定位：确定焦点所在的坐标轴；,定量：求a, b的值.,
