概率统计简明教程课件讲义

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1、普通高等教育“十五”国家级规划教材 概率统计简明教程 多媒体教学参考资料,同济大学数学系 柴根象 蒋凤瑛 杨筱菡,参考书目,1、复旦大学数学系，概率论（第一、二册），北京：高等教育出版社，1979 2、浙江大学数学系，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，1979 3、王梓坤，概率论及其应用，北京：科学出版社，1976 4、陈希孺，数理统计学简史，长沙：湖南教育出版社，2002 5、陈希孺，概率论与数理统计，合肥：中国科技大学出版社，1992 6、G.R.Iverson and M.Gergen. Statistics-the conceptual approach. New York:Sp

2、ringer-Verlag,1997 7、D.Freedman, R.Pisaui, R.Purves and A.Adhikari. Statistics. New York:W.W.Norton&Company,1991,第一部分 序言 第二部分 概率 第三部分 统计,（一） 从“什么是统计”说起 （二）重在“观念”和“思考” （三）“不确定性”和“随机性” （四） 统计的特点,第一部分 序言,（一）从“统计是什么”说起,1、几个案例 2、统计学是收集和分析数据的科学和艺术。 3、统计是受过教育的人应有的素养。,1、几个案例,小儿麻痹症盐的统计,小儿麻痹症,20世纪五十年代的一种流行病，对

3、于一种疫苗有效性检验。收集20万儿童随机分成二组：实验组和对照组。结果对照组中有138个受感染；而实验组则有56个受到感染。使用假设检验的统计方法，表明138与56的差异是高度显著，疫苗是有效的。,2、统计学是收集和分析数据的科学和艺术,统计是一门科学，它依赖的基本原理并不固定哪一种模式，作为量化和表现不确定性的方法论科学，其基础涉及很多哲学观点，能够对任一主题进行独立讨论，因而对人们的正确的世界观的形成是十分必要的。统计是一门艺术，着重说明统计方法需要灵活使用，依赖于人的判断以至灵感。,3、统计是受过教育的人应有的素养。,血液检查中的经济学,血液检查中的经济学,第二次大战时，必须招募很多士兵

4、，为检查某种疾病需对每个申请者作血液检查，工作量巨大。如何在保证质量的前提下减少检验次数呢？假定该病的流行率为1/20。,可将申请者分成20人一组，如每组进行20次检查，则平均一组有一例阳性。今把20人分成2组（10人一组），采得每个组的10个人的混合血液，分别再对二次混合血液各做一次检验，则有一组呈阳性，而另一组为阴性。再对呈阳性一组，做10次检验，以确认哪一个人为阳性，如此只须做2+10=12次检验，比20次减少40%。如分成5人一组，则同理只须做4+5=9次检验，减少55%。这是在流行率为1/20的条件下，对20个人的最少检验次数。,（二）重在“观念”和“思考”,美国统计协会和数学会的一

5、个联合课程委员会曾指出：任何统计的入门课程，都应该“强调如何做统计思考”而且内容应该“多一些数据和观念，少一点公式和推导过程”。因此统计作为一门公共基础课程，其内涵符合素质教育的基本精神，应重在“观念”和“思考”。,变异性(Variablity),统计数据和统计资料具有变异性， 即个体之间有差异，而对同一个体的多次观察，其结果也会不一样，并且几乎每一次观察都随着时间的不同而改变，因而变异性是一个重要的统计观念。,抽样结果的差异是变异性的主要表现。例如，要调查某个人群中参与股票交易的比例p，抽取大小1523的样本，参与人数为868，则p的估计为 ，另外再抽一次，大小为1523的样本，结果是什么?

6、,不能仅仅根据一次抽样的结果就断言p不多不少就是57(%)！重要的是对变异性有科学的描述。在这里运用概率思考是重要的。对上例置信陈述可以是一个合适的工具：例如，以95(%)的置信水平，这个比例p在0.546和0.624之间。,（三）“不确定性”和“随机性”,1、C.R.Rao：统计学就是围绕不确定性的驾驭而发展起来的 2、随机性是自然界所固有的 3、短期的机遇变异和长期的规律性 4、将随机性归纳于可能的规律性之中,凯特勒（A.Quetlet,1796-1874）利用概率论概念描述社会学和生物现象 孟德尔（G.Mendel,1870）使用简单的随机结构，建立了他的遗传法则 玻尔茨曼（Boltzm

7、ann,1866）给出了热力学第二定律的统计学解释这些伟人的思想观点是自然界的一场革命，然而这些观点在当时并未为人们所接受。,2、随机性是自然界所固有的,3、短期的机遇变异和长期的规律性,重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每次出现的面： （1）正反正反反正 （2）反反反正正正 （3）正反反反反反直觉认为结果（1）是随机的，结果（2）和结果（3）很不随机。,从概率的观点认为结果（1）、（2）、（3）的发生有相同的概率，因而没有哪一个结果比其他结果更多一点或少一点随机性。,在某地的彩票活动中，七年中有人累计中两次大奖的机会是： 一半对一半人们的潜意识常常与理性思考的结果有很大差别，如不善于统计思考，即

8、使面对十分平常的现象，也会闹出笑话。,4、基于概率知识，将随机性归纳于可能的规律性中，这正是统计学科所涵盖的一个重要内容。,著名的分赌本问题 甲乙二人各有赌本1元，约定谁先胜三局赢得全部赌本2元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相等。现已赌三局结果是：甲二胜一负。由于某种原因赌博中止，问如何分赌本才合理？分析：甲、乙均分显然不合理，由甲二胜一负能否依2：1来分？也是不合理的。巴斯卡提出一个关键点是：如赌局继续下去，各人取胜的概率，这将决定甲、乙二人的期望所得（后者现在称数学期望）。,Bortkiewicz（1898）的马踏死骑兵人数的统计。,5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。,（1）抽样调查

9、和试验设计的随机性 （2）罐子模型考虑二种医学处理（用1和2表示）的临床比较试验模型的设计,一罐子有二类型号的球，即型1及型2的球，当一个病人接受处理时，随机抽一球，如为i型，则病人接受处理i，当处理的“效应”为成功时，则附加个型i球及个型号2-i+1球（0待定）；如“效应”为失效，则附加 个型i球及个型号2-i+1球，可找出，的设计使模型在某种意义下最优。这种设计的优点在于有人性化，即较多的病人接受较好的处理。,5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。,（1）抽样调查和试验设计的随机性 （2）罐子模型 （3） Monte Carlo法与模拟,图2：如何求不规则图形的面积 蒙特卡罗法或模拟法,M

10、onte Carlo法与模拟,Monte Carlo法与模拟,四 统计的特点,1、统计学是使用有效方法收集分析数据，并作出结论的方法论科学。 2、统计方法不涉及问题的专业内涵，是“中性”的，任何人都可以使用。 3、统计结论并非百分之百 4、统计方法研究和揭示现象之间在数量表现层面上的相关关系，但不肯定是因果关系。,3、统计结论并非百分之百因为变异无所不在，统计结论并不是绝对的。例如统计研究发现：对5064岁的妇女，乳房摄影可以减少26的死亡率，但26这只是平均数，对不同的妇女，结果可能大不相同。例如有些每年做乳房摄影的妇女死于乳癌；而有一辈子都未做过摄影的妇女，却活到100岁。每天的天气预报，

11、结果可能会错，但同时告诉你晴或雨的概率是多大。因此谁也不会怀疑天气预报的科学性和重要性。,4、统计方法研究和揭示现象之间在数量表现层面上的相关关系，但不肯定是因果关系。 统计研究显示：抽烟与肺癌死亡率之间有很强的相关性，但尚不能肯定它们之间存在因果关系。 一项统计研究表明一国的人均拥有电视机数与人的期望寿命有相关关系；但不能说人均电视机数和寿命长短有因果关系。,第二部分 概 率,（一）事件的概率 （二）条件概率与事件的独立性 （三）随机变量及其分布 （四）随机变量的数字特征,（一）事件的概率,1、随机事件 2、概率的概念及性质 3、古典概型,1、随机事件,在随机试验中，对某些现象的陈述为随机事

12、件（也简称事件）。 对于指定的一次试验，一个特定的事件可能发生，也可能不发生，这就是事件的随机性。,例1（p1），投掷一枚均匀骰子，观察朝上面的点数，我们关注“出现点数不大于4”这个事件（记之为A）。 当试验结果出现3点时，事件A发生； 当试验结果出现5点时，事件A不发生。总之，在试验前，无法判断事件A是否发生。,事件的关系,（1） （B包含A）。 （2）A=B（A与B相等）； （3）A与B互斥（A，B不能在一次试验中同时发生）,事件的运算,例7（p3）有两门火炮同时向一架飞机射击，考察事件A=击落飞机，依常识，“击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击中两个发动机”，因此A是一个较复杂的事

13、件，如记Bi=击落第i个发动机,i1,2，C=击中驾驶员，相对A而言，B1、B2及C都较A为简单。我们可以用B1、B2及C表示A A= B1B2C 这可以简化复杂事件A的概率计算。,事件的分解的要点是：正确使用事件的运算建立各简单事件之间的关系。,2、概率的概念及性质,概率是事件发生的可能性大小的度量概率的统计定义频率的稳定值，常常用于概率的近似计算，是非常有用的。但要注意，试验次数要足够多。,概率有以下性质,事件的加法公式及推广:对于任意事件A、B、C,有,概型的要求： 有限性：可能结果只有有限个； 等可能性：各个可能结果出现是等可能的。 概率的计算公式,3、古典概型,例1（p8）设有批量为

14、100的同型号产品，其中次品有30件。现按以下两种方式随机抽取2件产品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，观察后放回批中，再从中任取1件；（b）不放回抽取，即先任取1件，抽后不放回，从剩下的产品中再任取1件。试分别按这两种抽样方式求 （1）两件都是次品的概率； （2）第1件是次品，第2件是正品的概率。,解：容易验证满足古典概型的要求记A=两件都是次品，B =第1件次品，第2件正品只讨论有放回情况（不放回情况是类似的），计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取，每次取一件。而每次抽取均有100种可能结果，依计算原理，一共有n100*10010000种可能结果，此即样本

15、点总数。,而构成事件A的样本点的条件必须每次抽取来自30件次品，因此每次有30种可能结果，k30*30900种可能结果，于是同理，可得,例8（p13）设一年有365天，求下述事件A，B的概率：A n个人中没有2人生日相同；B n个人中至少有2人生日在同一天。提示：由于每个人的生日可以是365天中的 任意一天，因此n个人的生日有365 种可能结果，这就是样本点总数。,n,为求事件A的有利样本点数，注意到为保证不同生日，必须且只须，除第一人外，其余的人的生日只能在365天中除去前面已选定生日的余下天数中随机挑选。因此有利于A样本点数k365*364*（365-n+1）又注意到事件A，B之间有关系B

16、A，使用P(B)=1-P(A)直接可得P(B)，这一方法是十分常用的，读者须掌握。,（二）条件概率与事件的独立性,1、条件概率 2、全概率公式和贝叶斯公式 3、事件的独立性,1、条件概率,例2（p18）生命表生命表是人身保险精算的重要依据，下表是美国1976年的部分生命表。,其中第3列的死亡率就是到达该年龄还存活条件下，在之后的一年内死亡的条件概率。例如，为求50岁时的死亡率，记事件A个体在50岁存活，B 个体在50到51岁之间死亡，注意到此时AB=B，因而所以，50岁人的死亡率为这正好是第3列的第一个数字（须除以1000）,例3（p19）一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。解 记A第一次为次品，B 第二次为正品，要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A)已知P(A)=0.1，而P(BlA)90/99，因此P(AB) P(A)P(BlA)0.1*90/990.091,