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1、高考题型解法训练,专题四 函数解答题的解法,试题特点,专题四 函数解答题的解法,1. 近三年高考函数试题考查情况统计2005年，函数与不等式解答试题是高考的热门话题，也是解答题的必考题型. 当中的全国II、北京、天津各命制了2道. 函数与不等式试题处在压轴位置的有7道，与导数知识交汇的试题有12道. 当中，求函数的最值和值域的试题有9道，涉及函数单调性的有7道，求参数取值范围的有5道. 2006年高考试题里，出现的函数种类比较多的有三次函数、分式函数、对数和指数复合的函数、绝对值函数、抽象函数等等.,试题特点,2007年的高考在全国19套试卷中，都有体现，重点考查了函数与导数的综合，处理最值、
2、单调性问题、求解析式、求参数范围等. 对二次函数进行了重点考查. 据此可知，函数与不等式解答试题是高考命题的重要题型，它的解答需要用到导数的相关知识，其命题热点是伴随导数知识的考查，出现频率较高的题型是最值、范围命题，命题的趋向是函数迭代中的递推数列问题.,专题四 函数解答题的解法,专题四 函数解答题的解法,2. 主要特点纵观近年来高考试题，特别是2007年高考试题，函数试题有如下特点：(1)全方位. 近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减小. (2)多层次. 在每年高考题中，函数题低档、高档难度都有，且选择、填空、解答题
3、型齐全；低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透.,试题特点,专题四 函数解答题的解法,(3)巧综合. 为了突出函数在中学中的主体地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度. (4)变角度. 出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题
4、显得新颖、生动、灵活.,试题特点,应试策略,1. 高考函数解答题，主要有以下几种形式：(1)函数内容本身的综合，如函数的概念、图象、性质等方面的综合. (2)函数与其他知识的综合，如方程、不等式、数列、平面向量、解析几何等内容与函数的综合，主要体现函数思想的运用； (3)与实际问题的综合，主要体现在数学模型的构造和函数关系的建立.,专题四 函数解答题的解法,应试策略,2. 在系统复习阶段，我们分别研究了函数的性质(单调性、奇偶性、最值等)和图象(画图、识图、用图)，本轮复习的重点是函数图象和性质综合问题的解法. 在函数的诸多性质中，单调性和最值是复习的重点，也是高考的频考点. 函数的图象可以全
5、面反映函数的性质，而熟练掌握函数的性质有助于准确地画出函数的图象，从而自觉地养成用数形结合的思想方法解题的习惯.,专题四 函数解答题的解法,应试策略,3. 重视函数思想的指导作用. 用变量和函数来思考问题的方 法就是函数思想. 函数思想是函数概念、性质等知识在更高层次上的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出来的带有观念性的指导方法. 函数思想的应用：(1)在求变量范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函数，从而转化为求该函数的值域； (2)构造函数是函数思想的重要体现； (3)运用函数思想要抓住事物在运动过程中保持不变的那些规律和性质，从而更快更好地解决问题.,专题四 函数解答题的
6、解法,应试策略,4. 重视导数在研究函数性质方面的重要作用. 利用导数求闭区间上连续函数的极值、最值，研究函数在某一个闭区间上的单调性，求函数的单调区间，已经成为新的命题热点，在学习中应给予足够重视.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,1. （2007上海模拟题）已知函数f(x)= ax + ，a1.（1）证明：函数f(x)在(1,+)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,（1）证明：设1x1x2,0x1+1x2+1, 又a1,y=ax在(1,+)上是增函数.ax1ax2 由得ax1+1 ax2+1即f(x1)f(x2),f(x)在(
7、1,+)上是增函数.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,（2）（反证法）设f (x)=0存在负数根x0(x00)，则ax0+ = 0 =ax0(0,1)x0( ,2)，又x00矛盾，所以假设不成立.则f(x)=0没有负数根.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,点评通过（1）的证明让学生在处理函数单调性的证明时，能充分利用几种基本函数的性质直接处理，同时增强应变能力训练，通过（2）的证明使学生增强对反证法这种重要数学思想方法的认识.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,2. （2007岳阳市模拟题）设f (x)= (x0). （1）求f (x)的反函数f1(x)； （2）若x2时，不等式(x
8、1) f1(x)a (a )恒成立，试求实数a的取值范围.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,解析 （1）x0 y = x= f 1(x)= (x1),专题四 函数解答题的解法,考题剖析,（2）(x1)f1(x)a (a )+1a2a (a+1) a21（*）x2, ，显然a+101当a+10时，（*） a1,1 a 1+,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,2当a+10时，（*） a1a ，综上所述：1a1+,点评该题考查学生对函数与不等式的结合点的认识与处理能力，培养学生的转化能力及分类讨论思想.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,3. （2007杭州模拟题）已知函数f (x)=ax2
9、+4 (a为非零实数)，设函数F (x)= . （1）若f (2)=0，求F (x)的表达式；（2）在（1）的条件下，解不等式1|F(x)|2;（3）设mn0 , m+n0, 试判断F (m)+F (n)能否大于0 ?,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,解析 （1）f (2)=0，4a+4=0, 得a=1,f (x)=x2+4 ,F (x)=,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,（2） |F(x) |=|F(x)|,|F(x)|是偶函数, 故可以先求x0的情况,当x0时, 由|F(2)|=0, 故当0x2时, 解不等式 1 x2+42, 得 x ;当x2时，解不等式1x242,得 x ;综合
10、上述可知原不等式的解为：x 或 x 或 x 或 x .,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,（3） f (x)=ax2+4，F (x)=mn0,不妨设m0, 则n0,又m+n0,mn0,m2n2,F(m)+F(n)=am2+4an24=a(m2n2).所以当a0时, F(m)+F(n)能大于0,当a0时, F(m)+F(n)不能大于0.,点评本题考查分段函数与解不等式，在第2问的处理中，先得到F(x)是偶函数，再利用偶函数的性质求解，这 样可减少运算量，也可提高解答的效率，在解题中要善于利用函数的性质.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,4. （2007山西太原模拟题） 如果f (x)在某个
11、区间I内满足：对 任意的x1, x2I,都有 f(x1)+f(x2)f ，则称f (x)在I上为下凸函数；已知函数f (x)=ax2+x. （）证明：当a0时，f (x)在R上为下凸函数；（）若x(0,1)时，|f(x)|1,求实数a的取值范围.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,解析（）f(x1)+f(x2)2f( )= +x22a( )2+ = ,a0, f (x1)+f (x2)f ( ),当a0时, f(x)为R上的下凸函数.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,（）|f (x)| 1,1ax2+x1, a .x(0,1), 2a0.,专题四 函数解答题的解法,点评 本题给出了凸函数
12、这个新概念，主要考查学生阅读理解、自学的能力，在本题中要证明f(x1)+f(x2)f( )，主要是通过作差法f(x1)+f(x2) 2f( )解决的，作差是比较大小的一种常用方法.,考题剖析,专题四 函数解答题的解法,5. （2007黄冈中学模拟题）已知集合M是满足下列性质的函数f (x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有 f (xT)=Tf (x)成立. （1）函数f (x)=x是否属于集合M？说明理由； （2）设函数f (x)=ax(a0，且a1)的图象与y=x的图象有公共 点，证明：f (x)=axM.,考题剖析,专题四 函数解答题的解法,解析(1)对于非零常数T，f(xT)=xT，
13、Tf(x)=Tx.因为对任意xR，xT=Tx不能恒成立，所以f(x)=x M.(2)因为函数f(x)=ax(a0且a1)的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组： 有解，消去y得 ax=x，显然x=0 不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T, 使aT=T.于是对于f(x)=ax有f(x+T)=ax+T=aTax=Tax=Tf(x)故f(x)=axM.,考题剖析,点评 开放性、探索性问题是当今高考热点问题,通过此题培养学生科学探索精神.,专题四 函数解答题的解法,考题剖析,6. 已知函数f (x)=x22x3, x0,1, g (x)=x33a2x2a, x0,1. （1）求f (x)的值域M； （2）若a1，求g (x)的值域N； （3）在（2）的条件下，若对于任意的x0,1，总存在x00,1使得f(x1)=g(x0)，求a的取值范围.,
