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1、第三次课的内容要点,一.几种思维概念 从四个角度理解思维 意识的四个特点: 认识的功能;能区分主观与客观;保证人活动的目的性;有情感因素. 长时记忆的概念编码方式 二.思维的分类 按抽象性价值性指向性步骤性和意识性,三. 数学思维 (一)什么是数学思维 思维对象-思维载体-思维目的 数学思维的信息加工观 (二)数学思维的品质 数学思维的品质的差异主要表现在思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性和批判性等五个方面。,胡适说，一个真正的开明进步的国家，不是一群奴才造成的，是要有独立个性，有自由思考的人造成的，,问题与思考,举例说明概念的两种编码模型 在逻辑推理的过程中，概念和判断的 使用必须满足什么
2、条件？ 举例说明什么是抽象，什么是概括， 抽象和概括的区别与联系,第三节 数学形象思维,数学形象思维的心理元素 数学表象的特征 数学形象思维的形式,一. 数学形象思维的心理元素,(一) 数学形象思维的心理元素是数学表象 . 数学形象思维的心理元素不是数学物象，数学物象仅仅是数学形象思维的物质基础之一，是外部的根源。 知觉形象受制于直接呈现的数学物象，当数学物象呈现在主体面前时，主体内部产生相应的知觉形象，一旦离开了数学物象，主体内部的知觉形象就随之消失。知觉形象也不是数学形象思维的心理元素。 数学形象思维的心理元素不是具体的语言符号图形 .,(二) 什么是数学表象?,我们把主体在数学活动中的心
3、象叫做数学表象（mathematical image）。 数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括而得到的观念性形象。它是通过逻辑思维的渗透和数学语言作物质外壳，运用典型化的手段概括了的理想化形象。,(三) 数学表象的分类,1. 按材料内容的不同可分为 图形表象:是人脑对几何图形感知而形成的表象. 图式表象:是对数学式子、结构、关系、模型感 知而形成的表象. 2. 按创造性可分为 记忆表象:是指客体的一种主观经验（视觉的、听觉的 等等)这个客体对于经历过这种经验的人来说，曾经作 为一种刺激存在过，但现在并不存在于知觉的领域中。 创造表象:是对一个客体的主观经验，而这个客体对于经历过这种经
4、验的人来说，从来没有作为一种刺激物存在过，它是一种想象出来的客体。,(三) 数学表象的分类,3. 按其构成的不同可分为 单象:是指单个的表象，它也是最简单的表象。单象具有单个事物的形、质等属性。 复合象:是两个或两个以上的单象的组合。 4. 按抽象层次可以相对地分为 低级表象和高级表象。 变换的思想、化归的观念、方程的观点和追求简单化的心理倾向等数学观念就是最高层次的数学表象。,二. 数学表象的特征,数学表象的特征主要有：形象性、主观性、灵活性、抽象概括性和创造性。 （一）形象性 数学表象是人脑对数学物象的反映，是主体在数学活 动中的心象，它是一种理想化了的形象，因而具有形象性 的特征。 数学
5、表象不如具体形象那样明晰，它是模糊的。 数学表象的形象性表现出多样性，不管是数学概念、 数学命题还是数学推理论证，不仅都有其宏观的整体（或 综合）形象，而且还存在着许多从不同的角度观察所产生 的不同形象。,（二）主观灵活性,数学表象源于对数学物象的知觉，因而它是以个人以往的主观经验为基础的。 除了那些可以物化的数学语言、图形或实物模型的表象外，它是私人的，易变的，模糊的，是不容易进行交流的。 数学表象作为主体内在的“图画”，是一个高度发达的动力系统，它能灵活而迅速地进行组合转化。,（三）抽象概括性,数学的抽象概括性决定了数学表象必然具有抽象概括性的特征。 数学表象主要源于视知觉 ，视知觉具有抽
6、象概括的功能。所以，数学表象具有抽象概括的特征。,（三）抽象概括性,承认数学表象存在着从具体的记忆表象到抽象的创造表象的层次结构，就意味着承认数学表象具有抽象概括的功能。 形象的抽象是一个心理表象的形成过程，它把层次不同的或相互分离的“抽象物”整合成一个表象，能在更高的层次上整体地体现事物的结构和关系。 数学语言的抽象则是在形象抽象之上的再抽象，具体表现为数学表象同主体的分离，即将数学表象物化为数学语言。,（四）创造性,数学表象是建立在先前知觉的基础之上，是以往大量形象信息的在大脑中的储存，它具有灵活易变的特点，能为主体对其进行自由的比较、选择、分解、整合加工，从而将我们从死板的真实中解放出来
7、，引发新的结构、新的概念和新的关系。,三. 数学形象思维的形式,数学表象的形成、数学表象的分解与组合、联想和想象。 （一）数学表象的形成 面对具体的客观事物，在感知觉和经验的作用 下，人们在脑中可以形成单个的表象，在此基础 之上，从不同的单象中通过形式结构特征的概括 而形成观念性的数学表象，这个过程就是数学表 象的形成。,（二）数学表象的分解与组合,在复杂的背景中识别出基本图形,（二）数学表象的分解与组合,在复杂的背景中识别出基本图形,（二）数学表象的分解与组合,2.把复杂的结构图式分解成一些简单的结构图式,（二）数学表象的分解与组合,3.在解决问题的过程中，表象的分解与组合不是孤立的，而是联
8、合起作用的。,（二）数学表象的分解与组合,(三) 联想,联想（association）是由一事物想到另一事物的心理过程。具体地说，联想就是将头脑中相分离的表象联系在一起，由一种已有的表象唤起另一种表象。 数学联想主要有： 由部分联想整体、类比联想、关系联想。,(三) 联想,由部分联想整体完形 人们天生具有一种完形倾向，即：尽可能把被知 觉到的东西呈现一种最好的形式完形。 由表象的部分可以引发整个表象。,(三) 联想,2. 类比联想 指的是根据两个数学对象之间的类同、相似等 关系引起和展开的联想。,(三) 联想,3. 关系联想 是根据数学知识、图形的内在联系进行的联想。,(四) 想象,1.想象就
9、是人脑对已有的表象进行加工改造而产生 新表象的思维。 2.数学中的想象，实际上是以数学表象系统中丰富 的表象为基础，运用已有的数学思想观念对这 些表象进行整合加工，创造出新的数学表象的 思维。 3.想象又可以分为再造想象和创造想象。,数学中的再造想象是指根据对某一事物的数量关系与空间形式的语言文字的描述或者是图形的示意，在头脑中形成相应的新表象的思维。它是我们理解新知识的前提. 数学中的创造想象是不依赖于某一事物已有的数量关系和空间形式的描述，而是根据一定的目的、任务与理论，独立地创造出新表象的思维。它是数学创造的源泉.,公元1912年，荷兰数学家布劳维尔（Brouver，1881-1966）
10、证明了不动点原理： 把一个集合变为其子集合的连续变换，必然存在一个不变动的点。 运用模拟想象理解布劳维尔的不动点原理： 想象一块由橡皮膜做成的平面区域D，在橡皮收 缩后，缩为D内部的一个小区域D1；而原来的平 面小区域D1，在橡皮收缩后，缩为D1内部的小区 域D2；而原来的小小区域D2，在橡皮收缩后，则 缩为D2内部更加小的区域D3；如此一系列区 域所包含的公共点P，就是在橡皮膜收缩后仍占据 原来位置的点，它就是拓扑变换的不动点。,1. 如何理解数学思维及其分类？ 2. 举例说明什么是数学表象。 3. 公式学习有那几种水平。 4.举例说明概念学习的本质。 5.在所学过的数学概念、数学原理中，您觉 得哪一个较难理解？请类比不动点原理的理解方 式，尝试运用数学形象思维方式来重新构建您自 己的理解。,问题与思考,
