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1、 1 / 6 四点共圆四点共圆 判定定理判定定理 1：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径 判定定理判定定理 2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆 判定定理判定定理 3：对于凸四边形 ABCD，若对角互补，则 A、B、C、D 四点共圆. 判定定理判定定理 4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形 ABCD 其对角线 AC、BD 交于 P， 若 PAPC=PBPD，则 A、B、C、D 四点共圆。 判定定理判定定理 5：割线定理的逆定理：对于凸四边形 ABCD 两边 AB、DC 的延长线相交于 P， 若 PBPA=PCPD，则 A、B、C、D
2、四点共圆。 1：如图，在圆内接四边形 ABCD 中，A=60，B=90，AB=2，CD=1，求 BC 的长 2：如图，正方形 ABCD 的面积为 5，E、F 分别为 CD、DA 的中点，BE、CF 相交于 P， 求 AP 的长 P C D A B P F E AB DC P A C B D P A B D C 2 / 6 3：如图，四边形 ABCD 内接于O，CB=CD=4，AC 与 BD 相交于 E，AE=6，线段 BE 和 DE 的 长都是正整数，求 BD 的长 4：如图，OQAB，O 为ABC 外接圆的圆心，F 为直线 OQ 与 AB 的交点，BC 与 OQ 交于 P 点， A、C、Q
3、三点共线，求证：OA2=OPOQ 5：如图，P 是O 外一点，PA 与O 切于点 A，PBC 是O 的割线，ADPO 于 D， 求证：PB：BD=PC：CD P Q E FO A B C E C O A BD E D B A O P C 3 / 6 6：如图，直线 AB、AC 与O 分别相切于 B、C 两点，P 为圆上一点，P 到 AB、AC 的距离分别 为 6cm、4cm，求 P 到 BC 的距离 7： 在半O 中，AB 为直径，直线 CD 交半圆于 C、D，交 AB 延长线于 M（MBMA，ACMD） ， 设 K 是AOC 与DOB 的外接圆除点 O 外的另一个交点，求证：MKO=90 8
4、：如图，在圆内接四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=60，AC=a，求：四边形 ABCD 的面积 （用 a 表示） N M E C B O A P K C OB A D M O A D B C 4 / 6 一、选择题 1、设 ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：(1)sinA=sinC； (2)sinA+sinC=0； (3)cosB+cosD=0； (4)cosB=cosD；其中总能成立的关系式的个数是( ) A、一个； B、两个； C、三个； D、四个； 2、下面的四边形有外接圆的一定是( ) A、平行四边形； B、梯形； C、等腰梯形； D、两个角互补的四边形； 3、四边形
5、 ABCD 内接于圆，A：B：C=7：6：3，则D 等于( ) A、36； B、72； C、144； D、54； 4、如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=BC=AC=AD，AHCD 于 H，CPBC 交 AH 于 P，若3AB ，AP=1，则 BD 等于( ) A、2 2； B、2； C、3； D、7 ； 5、对于命题：内角相等的圆内接五边形是正五边形； 内角相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论 中正确的是( ) A、，都对； B、对，错；C、错，对； D、，都错； 二、填空题 6、如图 2，ABC 中，B=60，AC=3cm，则ABC 的外接圆半径为 。 7、如图 3，ABC 中，
6、ACB=65，BDAC 于 D，CEAB 于 E，则AED= ,CED= 。 8、如图 4，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，延长 AD 交ABC 的外接圆于 E，已 知 AB=a，BD=b，BE=c，则 AE= ，DE 。 9、如图 5，正方形 ABCD 的中心为 O，面积为 1989 2 cm，P 为正方形内一点，且 OPB=45，PA：PB5：14，则 PB= 。 10、如图 6，四边形 ABCD 内接于以 AD 为直径的圆中，若 AB 和 BC 的长度各为 1， 7 2 CD ，那么 AD= 。 图 1 P H A B C D 图 5图 4图 3 图 2 O AB E D DE C
7、 O BC A DC P B A A BC 图 6 C AD B 5 / 6 三、解答题 11、如图 7，在ABC 中，AD 为高线，DEAB 于 E，DFAC 于 F。 求证：B、C、F、E 四点共圆。 12、如图 9， AB 为圆的直径，AD、BC 为圆的两条弦，且 BD 与 AC 相交于 E。 求证：ACAE+BDBE=AB2。 图 7 F E D A BC 图 9 F E O AB C D 6 / 6 13、如图，圆 O 的直径为 5，在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，已知 BC：CA=4：3，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A、B 两点重合） ，过点 C 作 CP 的垂 线 CD 交 PB 的延长线于 D 点 （1）求证：ACCD=PCBC； （2）当点 P 运动到 AB 弧中点时，求 CD 的长； （3）当点 P 运动到什么位置时，PCD 的面积最大？并求出这个最大面积 S。
