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1、二面角的求法二面角的求法 一、一、 定义法：定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上 取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例例 1（全国卷（全国卷理）理）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，2AD 2DCSD，点 M 在侧棱SC上，ABM=60 （I）证明：M 在侧棱SC的中点 （II）求二面角SAMB的大小。 练习练习 1（山东（山东）如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD， ,E，F 分别是 BC
2、, PC 的中点.（）证明：AEPD; （）若 H 为 PD 上的动点，60ABC EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为，求二面角 EAFC 的余弦值. 6 2 二、三垂线法二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点 P 在一 个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例例 2( (山东卷理山东卷理) ) 如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F 分别是棱 AD、AA1、AB 的中点。 (1)证明：直线 EE1
3、/平面 FCC1； (2)求二面角 B-FC1-C 的余弦值。 练习练习 2（天津）（天津）如图，在四棱锥中，底面是矩形ABCDP ABCD 已知 60,22, 2, 2, 3PABPDPAADAB （）证明平面； （）求异面直线与所成的角的大小；ADPABPCAD （）求二面角的大小ABDP 三补棱法三补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线 （称为补棱） ，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 例例 3（湖南）（湖南）如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边
4、长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA2. （）证明：平面 PBE平面 PAB; （）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习练习 3 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的棱长都是 a，侧棱与底面成 600的角，侧面 BCC1B1底面 ABC。 （1）求证：AC1BC； （2）求平面 AB1C1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 A B C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D 四、四、射影面积法（射影面积法（） cos s S q= 射射 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另
5、一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos ）求出二面角的大小。 斜 射 S S 例例 4 （北京理）（北京理）如图，在三棱锥中，PABC2ACBC90ACB ，APBPABPCAC （）求证：；PCAB （）求二面角的大小；BAPC 练习练习 4 4： 如图 5，E 为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CC1的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1所成锐角的余弦值. 五、向量法向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几 何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线
6、段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。 例例 4：（天津卷理）：（天津卷理）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M 为 EC 的中点， AF=AB=BC=FE= 1 2 AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD平面 CDE； 求二面角 A-CD-E 的余弦值。 练习练习 5、 （湖北）（湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面. 111 ABCABCABC 11 A ABB （）求证：；ABBC （）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与AC 1 ABC 1 ABCA 的大小关系，并予以证明
7、. A C B P A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图 5 二面角大小的求法的归类分析二面角大小的求法的归类分析 一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点）一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察 图形的特性；图形的特性； 例例 1 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求二面角 B-PC-D 的大小。 二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面
8、角的平面二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；角； 例例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，ABC=30，求二面角 P-BC-A 的 大小。 三、三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知， 二面角的平面角所在的平面与棱垂直；二面角的平面角所在的平面与棱垂直； 例例 3 3 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是
9、正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求 B-PC-D 的大小。 四、射影面积法（四、射影面积法（） cos s S q= 射射 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos ）求出二面角的大小，其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角； 斜 射 S S 例例 4 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。 五、补棱法五、补棱法:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）对于一
10、类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法） 。 例例 5、在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角 的大小。 （补形化为定义法） p A BC D L H j A B C D P H j A B C D P H l A B C D P 六、向量法：六、向量法：向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向 量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向
11、量，进行向 量计算解题。 例例 6、 （湖北）（湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面. 111 ABCABCABC 11 A ABB （）求证：；ABBC （）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.AC 1 ABC 1 ABCA 由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下： 二面角大小的求法答案二面角大小的求法答案 定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角中从二面角 SAMB 中半平面中半平面 ABM 上的一已知点（上的一已知点（B）向棱）向棱 AM 作垂线，得垂足（作垂线，得垂足（F
12、） ；在另一半平面；在另一半平面 ASM 内过该垂足（内过该垂足（F）作棱）作棱 AM 的垂线（如的垂线（如 GF） ，这两条垂线（，这两条垂线（BF、GF）便形成该）便形成该 二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例例 1（20092009 全国卷全国卷理）理）证（I）略 解解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点 F，则点F为 AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作GFAM ，GF 交
13、AS 于 G，连结 AC，ADCADS，AS-AC， 且 M 是 SC 的中点，AMSC， GFAM，GFAS，又F为 AM 的中点，GF 是AMS 的中位线，点 G 是 AS 的中点。则 GFB即为所求二面角 ，则，又，,2SM 2 2 GF6 ACSA2AM ，是等边三角形，, 2 ABAM 0 60ABMABM3BF 在中，GAB 2 6 AG2AB 0 90GAB 2 11 4 2 3 BG ,二面角SAMB的大小为 3 6 6 2 3 2 2 2 2 11 3 2 1 2 cos 222 FBGF BGFBGF BFG ) 3 6 arccos( 练习练习 1（2008 山东山东）分
14、析）分析：第 1 题容易发现，可通过证 AEAD 后推出 AE平面 APD，使命题获证，而第 2 题，则首先必须在找 到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S，和 两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。 （答案：二面角的余弦值为） 5 15 二、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例二、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）过二面角）过二面角 B-FC1-C 中半平面中半平面 F G BFC 上的一已知点上的一已知点 B 作另一半平面作另一半平面 FC1C 的垂线，得垂足的垂
15、线，得垂足 O；再过该垂足；再过该垂足 O 作棱作棱 FC1的垂线，得垂足的垂线，得垂足 P，连结起点与终点得斜，连结起点与终点得斜 线段线段 PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线、垂线 BO、射影、射影 OP） 。再解直角三角形求二面角的度数。再解直角三角形求二面角的度数。 例例 2(2009(2009 山东卷理山东卷理) ) 证（1）略解（2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OBCF,又 因为直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,CC1平面 ABCD,所以 CC1BO,所以 OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OPC1F,垂足为 P,连接 BP,则OPB 为二面角 B-FC1-C 的一个平面角, 在BCF 为正三角形中,3OB ,在 RtCC1F 中, OPFCC1F, 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP , 在 RtOPF 中, 22 114 3 22 BPOPOB , 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP ,所以二面角 B-FC1-C
