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1、第七章 力法,超静定结构：具有多余约束的结构。,几何特征：具有多余约束的几何不变体系。,静力特征：反力和内力不能仅由平衡条件全部解出。,外部一次超静定结构,内部一次超静定结构,一、超静定结构的静力特征和几何特征,7-1 超静定结构概述,思考：多余约束是多余的吗？,从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。,超静定结构的优点为: 1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强,7-1 超静定结构概述,二、超静定结构的类型,超静定梁,超静定刚架,超静定拱,两铰拱,无铰拱,7-1 超静定结构概述,超静定桁架,超静定组合结构,7-1 超静定结构概述,Methods of Analysis of St
2、atically Indeterminate Structures,遵循同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想，可有不同的出发点：,以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法（force method）。,三、超静定结构求解方法概述,1. 力法-以多余约束力作为基本未知量,基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全 确定。-关键量,7-1 超静定结构概述,以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为位移法（displacement method）。,如果一个问题中
3、既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。,2. 位移法-以结点位移作为基本未知量,3. 混合法-以结点位移和多余约束力作为基本未知量,7-1 超静定结构概述,4. 力矩分配法-近似计算方法,位移法的变体，便于手算，不用解方程。,5. 结构矩阵分析法-有限元法.,以上各种方法共同的基本思想:,4. 消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。,3. 找出改造后的问题与原问题的差别；,2. 将其化成会求解的问题；,1. 找出未知问题不能求解的原因；,适用于电算,7-1 超静定结构概述,超静定次数：多
4、余约束（联系）或基本未知力的个数。,一、概念,二、确定方法,1）由计算自由度 确定,2）去约束法,将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构。,？,7-2 超静定次数的确定,解除多余约束的办法确定超静定结构的超静定次数，应注意以下几点：,（1）去掉一根链杆，等于拆掉一个约束。,两铰拱，一次超静定结构。,一次超静定桁架,曲梁，静定结构。,静定桁架,7-2 超静定次数的确定,去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定,去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束,7-2 超静定次数的确定,（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。,（3）去掉一个固定支座或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。,
5、切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。,7-2 超静定次数的确定,（4）在梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉一个约束。,三次超静定刚架,静定三铰刚架,静定悬臂刚架,（5）去掉一个连接n个杆件的铰结点，等于拆掉2(n-1)个约束。,（6）去掉一个连接n个杆件的刚结点，等于拆掉3(n-1)个约束。,7-2 超静定次数的确定,五次超静定刚架,注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方式，但解除约束的个数是相同的, 解除约束后的体系必须是几何不变的。,（7）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。,（8）只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。,7-2 超静定次数的确定,以五个支座链杆为多余约束,静
6、定悬臂刚架,其它形式的静定刚架：,静定三铰刚架,静定简支刚架,7-2 超静定次数的确定,3）框格法,一个封闭无铰框格,个封闭 无铰框格,7-2 超静定次数的确定,若有铰 单铰数，则,注意：,多少个封闭无铰框格？,7-2 超静定次数的确定,三、计算示例,拆除多余联系变成的静定结构形式：,7-2 超静定次数的确定,7-2 超静定次数的确定,1. 力法基本思路,原（一次超静定）结构,1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构(基本体系)。,基本体系,去掉余约束代之以多余未知力，得到基本体系。,7-3 力法的基本概念,2)、沿多余未知力方向建立位移协调方程，
7、解方程就可以求出多余未知力X1 。,原结构的B是刚性支座, 该点的竖向位移是零。即原结构在的X1位移为：,位移协调条件：基本结构在原有荷载 q 和多余力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。,在变形条件成立条件下,基本体系的内力和位移与原结构等价.,7-3 力法的基本概念,超静定结构计算,静定结构计算,基本结构（悬臂梁）,对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。,7-3 力法的基本概念,在荷载作用下B 点产生向下的位移为1P, 未知力的作用将使B点产生的向上的位移为1X 。,要使体系的受力情况与原结构一样, 则必须B 的位移也与原结构一样，要求：,位移协调条件1=1
8、X+1P=0 (a)1P 基本结构由荷载引起的竖向位移, 1X 基本结构由知力引起的竖向位移。,7-3 力法的基本概念,由叠加原理 1X=11X111X1+1P=0 (b)力法典型方程, 位移系数,自乘,7-3 力法的基本概念,将11、1P 入力法典型方程，解得:,3)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的内力。,7-3 力法的基本概念,2. 几个概念,力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知约束力, 即超静定次数。,力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉, 所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。,力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多余约束力，就得到了
9、基本体系。,力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。,7-3 力法的基本概念,选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取超静定的基本体系。,思考：力法的基本体系是否唯一？,答：不唯一。解除不同的多余约束可得不同的基本体系。,7-3 力法的基本概念,力法基本思路小结:,根据结构组成分析，正确判断多余约束个数超静定次数。,解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力基本未知力。,分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移
10、协调条件力法典型方程。,从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。,7-3 力法的基本概念,将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。,7-3 力法的基本概念,超静定刚架如图所示, 荷载是作用在刚性结点C上的集中力矩M 。,一、多次超静定的计算,原结构,基本结构,基本体系,（1）力法基本未知量X1 与X2,7-4 力法的典型方程,（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M 和赘余力X1、X2共同作用下，在去掉赘余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。,（a）,7-4 力法
11、的典型方程,（b）,将 ， ，,代入（b）式，,得两次超静定的力法基本方程,（c）,7-4 力法的典型方程,（3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位力 与荷载单独作用下的弯矩图。,7-4 力法的典型方程,7-4 力法的典型方程,（4）求出基本未知力。,将计算出来的系数与自由项代入典型方程,得,解方程得 ，,求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。,7-4 力法的典型方程,先作弯矩图（ ），把弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。再作剪力图，最后作轴力图。,由刚结点C 的平衡可知M 图正确。,(5) 作内力图。,7-4 力法的典型方程,杆AC:,杆CB:,作剪力图的原则是, 截取每一杆为隔离
12、体，由平衡条件便可求出剪力。,7-4 力法的典型方程,取刚结点C 为隔离体，由投影平衡条件解得,作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的剪力便可求出轴力。,7-4 力法的典型方程,二、力法典型方程,n 次超静定定结构，力法典型方程为,（7-1a）,柔度系数ij 表示当单位未知力Xj=1作用下, 引起基本体系中Xi 的作用点沿Xi方向的位移。,思考：柔度系数由什么的特点？,答： ， 。,7-4 力法的典型方程,自由项 iP荷载作用下引起基本体系中Xi 的作用点沿Xi方向的位移。,通常先用叠加原理计算弯矩,由力法典型方程解出n 个基本未知数X1，X2， ，Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。
13、,由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。,7-4 力法的典型方程,1、力法的典型方程是体系的变形协调方程； 2、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理； 3、柔度系数是体系常数； 4、荷载作用时,内力分布与刚度大小无关，与各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度比可使内力重分布。,小结：,7-4 力法的典型方程,7-5 力法的计算步骤和示例,例: 用力法计算图示刚架，并作M图。,解：) 确定力法基本未知量和基本体系,基本体系,力法方程： d11x1+ d12x2+ D1P=0 d21x1+ d22x2+ D2P=0,) 作M1、M2、MP图,7-5 力法的计算步骤和示例,基本体系,MP,
14、7-5 力法的计算步骤和示例,）计算系数、自由项 d11=5l/12EI d22=3l/4EI d12=d21 =0 D1P= FPl2/32EI D2P = 0,说明:力法计算刚架时，力法方程中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响： dii = l (Mi2 /EI)ds dij = l (Mi Mj /EI)ds DiP= l (Mi MP /EI)ds,）代入力法方程，求多余力x1、x2 （5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0 x2= 0,）叠加作M图 MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -
15、3FPl/80 (右侧受拉）,力法的解题步骤,（1）确定结构的超静定次数，选取适当的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束反力, 即基本未知数。即得基本体系。,（2）列力法方程式,（3）计算系数与自由项。分别画出基本体系在单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。,（4）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。解此方程，求出基本未知力。,（5）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作出基本体系的内力图, 也就是原结构的内力图。,（6）校核。,7-5 力法的计算步骤和示例,例7-1 用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和剪力图。,解:(1)确定超静定次数、选择基本体系。,原结构,基本体系,（2）列出力法典型方程,（a）,7-5 力法的计算步骤和示例,(3)计算系数及自由项。作 、 图,由图乘得,7-5 力法的计算步骤和示例,(4)解方程求未知力。,
