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1、性代数一、特征值的基本内容1、方阵的特征值和特征向量1)定义:设A为n阶矩阵,丿是一个数,若存在一个R维非零列向量x使:hx=芬成立,则称口是4的一个特征值,相应的非零列向量x称为4的属于特征值儿的特征向量.一、特征值的基本内容喜.1、方阵的特征值和特征向量4hx=花等价于:(吟-4Ax=0,称矩阵命-4为4的特征矩阵,行列式人(刃-史-4Al称为4的特征多项式.由孔ia8-4jx=0定在非雷解的充分处要条件为|几E-匕0,所以1命_A|=0为A的特征方程,它的根就是的特征值(根).一、特征值的基本内容1、方阵的特征值和特征向量(2)特征值的性质:若x丿0俭:dx=万,则对于常数R(gx0)有
2、:A(fr)=2(fr);若x:x0(i=12)俭:hx=2r.,则。友x十历工2)二儿xi十亢X2);(厉i十友2大0】一、特征值的基本内容1、方阵的特征值和特征向量若#是4的两个不同的特征值,a丿0(=12)使:又&y二力0,则aRo线恒无关;且Gul+Qo-.不是的特征向量.一、特征值的基本内容2、方阵特征值和特征向量的计算结论:乙是4的一个特征值,是A的属于特征值九的特征向量的充要条件是:是特征方程1命-4A0的根,丁是齐次方程组(他4)x=的非零解,一、特征值的基本内容。2、方阵特征值和特征向量的计算求方阵特征值和特征向量的具体步骤:(1)计算方阵A的特征多项式一(刀训-41;(2)
3、永特征方程128-之匕8的全部根,即得为方阵灿的全部特征值一、特征值的基本内容2、方阵特征值和特征向量的计算3)对于每个特征值丿,求出(-4)x=0的一个基础解系21,.,火,其中:r(2B-4)=r.则4的属于特征值小的全部特征向春为:(_7_+一/(_r_3其中f,.,k,_,为不全为零的任意常数.一、特征值的基本内容2、方阵特征值和特征向量的计算特别:若14匕0,则知:=0是4的一个特征值,且:Lhx=0的基础解系就是4的属于特征值=0的线泳无关特征向英一、特征值的基本内容s3、相似矩阵及其性质_i)定义:设4,B为两个R阶方阵,如果存在一个可送矩阵P,使得:B=PA4P,则称矩阵与卫相似,|证为4B.由4到P-,4P=,称为对进行相似变换,九为相似变换矩阵.
